Мера Лебега в R^n
Эта статья находится в разработке!
TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ
Последняя теорема показывает, что
— мера на .Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате
будет распространено на -алгебру множеств .
Определение: |
Полученная мера | — -мерная мера Лебега (можно просто ).
Определение: |
Множества | — измеримые по Лебегу
Цель этого параграфа — устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии -измеримости и на том, что — -алгебра.
обозначим за
Тогда
— одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, — -алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.
По монотонности меры,
Значит,
. Итак, мера точки равна нулю.— не более, чем счётное множество точек. Тогда
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
Возьмём
, , — все рациональные числа на . — счётное, всюду плотное. Тогда , а . То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1.
TODO: Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)