Счетчиковые машины, эквивалентность двухсчетчиковой машины МТ

Определение:

[math]k[/math]-счетчиковой машиной называется набор A=[math]\langle\Sigma, Q, s\in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \cup \{\varepsilon\} \times \{0,1\}^k \rightarrow Q \times \{ -1, 0, 1\}^k \rangle[/math], где [math]\Sigma[/math] — входной алфавит на ленте; [math]Q[/math] — множество состояний автомата; [math]s[/math] — стартовое состояние автомата; [math]T[/math] — множество допускающих состояний автомата; [math]\delta[/math] — функция переходов, зависящая от символа на ленте, текущего состояния управляющего автомата и состояния счетчиков и осуществляющая переход в автомата в новое состояние и изменение состояния счетчиков. Для каждого счетчика возможны четыре операции: увеличить на один, уменьшить на один, не изменять значение, проверить является ли значение счетчика нулем. Будем считать, что значение нулевых счетчиков уменьшать нельзя.

По сути, [math]k[/math]-счетчиковая машина является [math]k[/math]-стековой машиной с односимвольным алфавитом.

Эквивалентность двухсчетчиковой машины машине Тьюринга

Лемма:

Язык [math]L[/math] допускается машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он допускается трехсчетчиковой машиной.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как двухстековая машина эквивалентна машине Тьюринга, то достаточно показать, что трехсчетчиковая машина эквивалентна по вычислительной мощности трехсчетчиковой машине. Пусть стековая машина имеет стековый алфавит [math]\Pi[/math]. Тогда любое из состояний стеков можно считать числом в системе счисления с основанием [math]|\Pi|[/math]. Пусть первому стеку соответствует число на первом счетчике трехсчетчиковой машины, второму стеку - второе, а третий счетчик используется для временных вычислений. Тогда операции со стеком можно реализовать на трехсчетчиковой машине: Добавление символа в стек: умножить значение счетчика на [math]|\Pi|[/math] и прибавить число, соответствующее символу алфавита (цифре). Удаление символа из стека: целочисленно разделить значение счетчика на [math]|\Pi|[/math]. Проверить верхний символ стека: найти остаток от деления значения счетчика на [math]|\Pi|[/math]. Все эти элементарные операции очевидно реализуются при помощи третьего счетчика. Например, рассмотрим операцию добавления символа в стек. Напишем программу для трехсчетчиковой машины, реализующую эту операцию. while (первый счетчик не ноль) { for (i = 0; i < [math]|\Pi|[/math]; ++i) увеличить третий счетчик; уменьшить первый счетчик; } for (i = 0; i < номер добавляемого символа в алфавите; ++i) увеличить третий счетчик; while (третий счетчик не ноль) { уменьшить третий счетчик; увеличить первый счетчик; } Аналогично реализуются остальные стековые операции. Таким образом получили, что для любой операции с двухстековой машиной существует эквивалентная операция с трехсчетчиковой машиной. Так как стековый алфавит конечен, то и управляющий автомат эквивалентной трехсчетчиковой машины будет иметь конечное число состояний. То есть для любой двухстековой машины существует эквивалентная ей трехсчетчиковая.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]\forall k[/math] и для любой [math]k[/math]-счетчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчетчиковая машина.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]C_1, C_2, ..., C_k[/math] - значения счетчиков [math]k[/math]-счетчиковой машины. Тогда состояние [math]k[/math]-счетчиковой машины можно охарактеризовать одним числом [math]2^{C_1}*3^{C_2}*...*p_k^{C_k}[/math], где [math]p_k[/math] - k-е простое число. Тогда любое состояние k-счетчиковой машины можно хранить на одном счетчике, а операции увеличения значения счетчика, уменьшения значения счетчика и проверки является ли счетчик нулем осуществляются на двухсчетчиковой машине при помощи операций умножения, деления и нахождения остатка от деления на соответствующее номеру счетчика простое число. Для этих вычислений и будет использоваться второй счетчик. Таким образом, [math]\forall k[/math] и для любой [math]k[/math]-счетчиковой машины [math]\exists[/math] эквивалентная ей двухсчетчиковая машина.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Для любого перечислимого языка [math]L[/math] существует двухсчетчиковая машина, которая распознает этот язык.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Утверждение теоремы очевидно следует из двух описанных выше лемм, тезиса Тьюринга-Черча и эквивалентности двухстековой машины машине Тьюринга.

[math]\triangleleft[/math]

Источники

Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.