Мера Лебега в R^n

Эта статья находится в разработке!

TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

Последняя теорема показывает, что [math]v[/math] — мера на [math]\mathcal{R}[/math].

Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате [math]v[/math] будет распространено на [math]\sigma[/math]-алгебру множеств [math]\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n[/math].

Определение:

Полученная мера [math]\lambda_n[/math] — [math]n[/math]-мерная мера Лебега (можно просто [math]\lambda[/math]).

Определение:

Множества [math]E\in\mathcal{A}[/math] — измеримые по Лебегу

Цель этого параграфа — устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии [math]\mu^*[/math]-измеримости и на том, что [math]\mathcal{A}[/math] — [math]\sigma[/math]-алгебра.

[math]\forall\bar x \in \mathbb{R}^n[/math] обозначим за [math]\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)[/math]

Тогда [math]\{\bar x\} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \Pi_p[/math]

[math]\{\bar x\}[/math] — одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, [math]\mathcal{A}[/math] — [math]\sigma[/math]-алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.

По монотонности меры, [math]\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac{2}{p} \right)^n \xrightarrow{p\to\infty} 0[/math]

Значит, [math]\lambda(\bar x) = 0[/math]. Итак, мера точки равна нулю.

[math]E = \{\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \}[/math] — не более, чем счётное множество точек. Тогда [math]\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0[/math]

Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.

Возьмём [math]I = [0; 1)[/math], [math]\lambda I = 1[/math], [math] E [/math] — все рациональные числа на [math] I [/math]. [math] E [/math] — счётное, всюду плотное. Тогда [math] \lambda E = 0[/math], а [math] \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 [/math]. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Парадокс( TODO: почему?)

Утверждение:

Бог есть

[math]\triangleright[/math]

К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но [math]\lambda[0;1) = 1[/math]. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, бБог есть.

[math]\triangleleft[/math]

TODO: Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)

Если взять произвольный паралл. в [math]R^?[/math],то за счет непрерывности обьема, как функции точек паралл., мы можем строить и ячейку в нем и ячейку, включающую параллелепипед(причем обем ячеек отличается на [math]\epsilon[/math]). Значит параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в [math]R^n[/math]. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке. Оно будет измеримо по Лебегу. Почему? Множество точек с иррац. коорд. всюду плотно.Если рассм. совокупность открытых шаров с центром в рац. точках и рац. радиусов, то множество таких шаров счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды. Они измеримы. И если мы возьмем любую точку, она будет сожерж . в мн-ве с некоторым параллелеипипедом. Далее приближаем точку к рац. коорд. -> строим паралл. с этой точкой и содерж. в уже построенном паралл.

Класс измеримых мне-в есть [math]\sigma[/math]-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит оно тоже измеримо.

Логика рассуждений: из множества, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и лбъединения стоим интересующий нас объект. окда?