Мера Лебега в R^n

Эта статья находится в разработке!

Последняя теорема показывает, что [math]v[/math] — мера на [math]\mathcal{R}[/math].

Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате [math]v[/math] будет распространено на [math]\sigma[/math]-алгебру множеств [math]\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n[/math].

Определение:

Полученная мера [math]\lambda_n[/math] — [math]n[/math]-мерная мера Лебега (можно просто [math]\lambda[/math]).

Определение:

Множества [math]E\in\mathcal{A}[/math] — измеримые по Лебегу.

Цель этого параграфа — устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии [math]\mu^*[/math]-измеримости и на том, что [math]\mathcal{A}[/math] — [math]\sigma[/math]-алгебра.

Измеримые по Лебегу множества

[math]\forall\bar x \in \mathbb{R}^n[/math] обозначим за [math]\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)[/math]

Тогда [math]\{\bar x\} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \Pi_p[/math]

[math]\{\bar x\}[/math] — одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, [math]\mathcal{A}[/math] — [math]\sigma[/math]-алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.

По монотонности меры, [math]\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac{2}{p} \right)^n \xrightarrow{p\to\infty} 0[/math]

Значит, [math]\lambda(\bar x) = 0[/math]. Итак, мера точки равна нулю.

[math]E = \{\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \}[/math] — не более, чем счётное множество точек. Тогда [math]\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0[/math]

Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.

Возьмём [math]I = [0; 1)[/math], [math]\lambda I = 1[/math], [math] E [/math] — все рациональные числа на [math] I [/math]. [math] E [/math] — счётное, всюду плотное. Тогда [math] \lambda E = 0[/math], а [math] \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 [/math]. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Это, в некотором смысле, парадоксальный результат, потому что искусственных объектов, которые мы определили в начале всего курса матанализа, оказалось ужасно, невероятно, невообразимо много по сравнению с познаваемыми нами рациональными числами.

Утверждение:

Бог есть.

[math]\triangleright[/math]

К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но [math]\lambda[0;1) = 1[/math]. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, бБог есть.

[math]\triangleleft[/math]

Если взять произвольный параллелепипед в [math]R^n[/math], то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на [math]\varepsilon[/math]). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в [math]R^n[/math]. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.

Утверждение:

Открытое множество в [math] R^n [/math] измеримо по Лебегу.

[math]\triangleright[/math]

Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелеипипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.

[math]\triangleleft[/math]

Класс измеримых множеств есть [math]\sigma[/math]-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит, оно тоже измеримо.

Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово стоим интересующий нас объект.

Теорема о внешней мере Лебега

Теорема:

Пусть [math] E \subset \mathbb R ^n [/math]. Тогда [math] \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G [/math] ([math] G [/math] - открытые множества).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как [math] E \subset G [/math], то, по монотонности внешней меры, [math] \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G [/math]. Переходя к верхней грани, получаем [math] \lambda^*E \le \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G [/math]. Докажем теперь противоположное неравенство. Как обычно, будем рассматривать случай [math] \lambda^* E \lt +\infty [/math], для [math] \lambda^* E = +\infty [/math] оно тривиально. Внешняя мера Лебега порождена функцией объема на полукольце ячеек. Значит, [math] \forall \varepsilon \gt 0: E \subset \bigcup\limits_{m} A_m [/math] - объединение ячеек, такое, что [math] \sum\limits_{m} v(A_m) \lt \lambda^* E + \varepsilon [/math]. За счет непрерывности объема, для любого [math] A_m [/math] существует [math] B_m [/math] - открытый параллелепипед, такой, что [math] A_m \subset B_m [/math] и [math] v(B_m) \lt v(A_m) + \frac{\varepsilon}{2^m} [/math]. [math] A_m \subset B_m [/math], поэтому [math]E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G [/math] - открытое множество. [math] \sum\limits_m v(A_m) \le \sum\limits_m A_m + \varepsilon \sum\limits_m \frac1{2^m} = \sum\limits_m A_m + \varepsilon [/math] Как мы ранее выяснили, [math] \sum\limits_{m} v(A_m) \lt \lambda^* E + \varepsilon [/math], поэтому, [math] \sum\limits_m v(B_m) \lt \lambda^* E + 2\varepsilon [/math]. Так как [math] G = \bigcup\limits_m B_m [/math], то [math] \lambda G \le \sum\limits_m v(B_m) [/math]. Значит, для любого [math] \varepsilon \gt 0 [/math] есть открытое [math] G [/math], содержащее [math] E [/math], такое, что [math] \lambda G \lt \lambda^* E + 2\varepsilon [/math]. При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math] получаем требуемое неравенство.

[math]\triangleleft[/math]

Выведем ряд важных следствий из этой теоремы.

Далее нам пригодятся множества [math] \Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N [/math]

Несложно заметить, что [math]\mathbb R ^n = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} \Delta_p [/math].

Теорема:

Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда: [math] \forall \varepsilon [/math] существует открытое [math] G [/math], такое, что [math] E \subset G, \lambda(G \setminus E) \lt \varepsilon [/math]. [math] \forall \varepsilon [/math] существует замкнутое [math] F [/math], такое, что [math] F \subset E, \lambda(E \setminus F) \lt \varepsilon [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала докажем первый пункт теоремы. Если мера [math] E [/math] конечна, то просто воспользуемся только что доказанной теоремой: [math] \forall \varepsilon \gt 0 [/math] есть открытое [math] G [/math]: [math] \lambda G - \lambda E \lt \varepsilon[/math]. По аддитивности меры, [math]\lambda G - \lambda E = \lambda (G \setminus E)[/math], и требуемое выполнено. Рассмотрим теперь случай, когда мера [math]E[/math] бесконечна: [math]E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (E \cap \Delta_p) [/math], для любого [math]p[/math] верно: [math]\lambda (E \cap \Delta_p) \lt \lambda (\Delta_p) \lt \infty[/math]. Случай конечной меры был доказан, поэтому [math] \forall \varepsilon [/math] можно взять [math] G_p [/math], такое, что [math] E \cap \Delta_p \subset G_p, \lambda(G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \lt \frac{\varepsilon}{2^p} [/math]. Возьмем в качестве требуемого множества [math]G[/math] объединение всех [math]G_p[/math]: [math]G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p[/math] открыто и содержит [math]E[/math]. [math]G \setminus E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))[/math] Тогда, по полуаддитивности внешней меры, [math]\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon[/math] Второй пункт доказывается переходом к дополнениям: Пусть [math]\overline E = \mathbb R ^n \setminus E[/math], по первому пункту, [math] \forall \varepsilon [/math] есть открытое [math] G:\ \overline E \subset G, \lambda(G \setminus \overline E) \lt \varepsilon [/math]. Пусть [math]F = \overline G[/math]. По определению, [math]F[/math] — замкнутое множество. Так как [math]\overline E \subset G[/math], то [math]\overline G \subset E,\ \lambda(E\setminus F) = \lambda (G \setminus \overline E) \lt \varepsilon[/math], и требуемые условия выполнены.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда [math] \lambda E = \sup\limits_{F: F \subset E} \lambda F [/math] (F - замкнутые множества).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно воспользоваться вторым пунктом предыдущей теоремы и устремить [math] \varepsilon [/math] к нулю.

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] A = \bigcup\limits_m F_m [/math] замкнуто, то оно называется множеством типа [math] F_{\sigma} [/math].

Если [math] B = \bigcap\limits_m G_m [/math] открыто, то оно называется множеством типа [math] G_{\Delta} [/math].

Такие множества также являются измеримыми по Лебегу (это очевидно?).

Теорема:

Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде [math] E = A \cup B [/math], причем A - множество типа [math] F_{\sigma} [/math], а [math] \lambda B = 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся вторым пунктом предпоследней теоремы: пусть [math] \varepsilon_m = \frac1m [/math], тогда будем брать [math] F_m \subset E: \lambda(E\setminus F_m) \lt \frac1m [/math]. Пусть [math] A = \bigcup\limits_m F_m [/math], по определению, [math] A [/math] - множество типа [math] F_{\sigma} [/math]. Тогда [math] B = E \setminus A, B \subset E \setminus F_m\ \forall m [/math] По монотонности меры, [math] \lambda B \le \lambda (E \setminus F_m) \lt \frac1m [/math]. При [math] m \rightarrow \infty [/math], получаем [math] \lambda B = 0 [/math], что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]