Теоретический минимум по математической логике за 3 семестр

Материал из Викиконспекты
Версия от 00:57, 14 января 2012; GeraltFromRivia (обсуждение | вклад) (→‎3. Вывод из допущений. Теорема о дедукции.)
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1. Исчисление высказываний, общие определения. Таблицы истинности. Общезначимость.

Определение:
Одним из базовых понятий логики высказываний является пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание


Определение:
Языком исчисления высказываний мы назовем язык [math]L[/math], порождаемый следующей грамматикой со стартовым нетерминалом <выражение>:
  • <выражение> ::= <импликация>
  • <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация>
  • <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция>
  • <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] <конъюнкция> [math]\&[/math] <терм>
  • <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>


Определение:
Высказывание - любая формула, порожденная данными грамматиками.


Шаблон:TODO: таблицы истинности


Определение:
Назовем выражение общезначимым, если его оценка истинна при любой оценке входящих в него пропозициональных переменных. Запись: [math]\models \alpha[/math].


2. Доказуемость. Аксиомы исчисления высказываний. Корректность исчисления высказываний.

3. Вывод из допущений. Теорема о дедукции.

Шаблон:TODO: вывод из допущений

Будем обозначать буквами [math]\Gamma, \Delta, \Sigma[/math] списки формул (возможно, пустые).


Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math] - некоторые список высказываний, [math]\alpha[/math] - некоторое высказывание в исчислении [math]\langle L, A, R \rangle[/math]. Тогда будем говорить, что [math]\alpha[/math] выводится из [math]\Gamma[/math] (запись: [math]\Gamma \vdash \alpha[/math]), если существует доказательство [math]\alpha[/math] в исчислении [math]\langle L, A_1, R \rangle[/math], где [math]A_1[/math] - это [math]A[/math] с добавленными формулами из [math]\Gamma[/math]. Элементы [math]\Gamma[/math] называются допущениями, предположениями, или гипотезами.


Теорема:
Пусть справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]
Теорема (о дедукции):
Пусть справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math].

4. Теорема о полноте исчисления высказываний.

5. Исчисление предикатов. Общезначимость и выводимость.

6. Теорема о дедукции в исчислении предикатов. Корректность и полнота исчисления предикатов.

7. Натуральный вывод. Секвенциальное исчисление предикатов. Устранение сечений.

8. Интуиционизм. Интуиционистское исчисление высказываний. Модели Крипке.

9. Теории первого порядка, примеры. Структуры и модели.

10. Аксиоматика Пеано. Формальная арифметика.

11. Рекурсивные функции и отношения. Реализация операций сложения, умножения, ограниченного вычитания.

12. Выразимость отношений и преставимость функций в формальной арифметике. Представимость примитивов Z, N, U и S.

13. Бета-функция Геделя. Представимость рекурсивных функций в формальной арифметике.

14. Геделева нумерация. Выводимость и рекурсивные функции.

15. Непротиворечивость и омега-непротиворечивость. Первая теорема Геделя о неполноте арифметики.

16. Первая теорема Геделя в форме Россера. Вторая теорема Геделя о неполноте арифметики.

17. Теория множеств. Парадоксы. Аксиоматика Цермело-Френкеля (равенство множеств, конструктивные аксиомы)

18. Аксиоматика Цермело-Френкеля (аксиомы бесконечности, выбора, подстановки, фундирования).

19. Ординальные и кардинальные числа, мощность множества.

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теоретический_минимум_по_математической_логике_за_3_семестр&oldid=16582»