Бинарное отношение
Содержание
Определение
| Определение: |
| Бинарным отношением R из множества A в множество B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается: |
Часто используют инфиксную форму записи:
Если отношение определено на множестве A то возможно следующее определение:
| Определение: |
| Бинарным (или двуместным) отношением R на множестве A называется множество упорядоченных пар элементов этого множества |
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
Степень отношений
Пусть R - отношение на множестве A.
| Определение: |
| Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой: |
Свойства отношений
Для определены свойства:
- Рефлексивность:
- Антирефлексивность:
- Симметричность:
- Антисимметричность:
- Транзитивность:
- Связность:
- Ассимметричность:
Виды отношений
Выделяются следующие виды отношений:
- квазипорядка — рефлексивное транзитивное
- эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное
- частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное
- строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное
- линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное
- доминирования — антирефлексивное антисимметричное
Примеры отношений
- Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
- Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
- Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
- Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
- Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
- Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
