Счётчиковые машины
| Определение: |
[math]k[/math]-счётчиковой машиной называется набор [math]A=\langle\Sigma, Q, s\in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \cup \{\varepsilon\} \times \{0,1\}^k \rightarrow Q \times \{ -1, 0, 1\}^k \rangle[/math], где
- [math]\Sigma[/math] — входной алфавит на ленте;
- [math]Q[/math] — множество состояний автомата;
- [math]s[/math] — стартовое состояние автомата;
- [math]T[/math] — множество допускающих состояний автомата;
- [math]\delta[/math] — функция переходов, зависящая от символа на ленте, текущего состояния управляющего автомата и состояния счётчиков и осуществляющая переход в автомата в новое состояние и изменение состояния счётчиков.
Для каждого счётчика возможны четыре операции: увеличить на один, уменьшить на один, не изменять значение, проверить является ли значение счетчика нулём.
Будем считать, что значение нулевых счётчиков уменьшать нельзя. |
По сути, [math]k[/math]-счётчиковая машина является [math]k[/math]-стековой машиной с односимвольным алфавитом.
Эквивалентность двухстековой машины трёхсчётчикой машине
| Лемма: |
Язык [math]L[/math] допускается двухстековой машиной тогда и только тогда, когда он допускается трёхсчётчиковой машиной. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\Rightarrow[/math]
Для доказательства необходимо показать, что двухстековая машина имитируется на трёхсчётчиковой. Пусть [math]\Pi[/math] - стековый алфавит, [math]|\Pi|=P[/math]. Пронумеруем символы алфавита от [math]0[/math] до [math]P[/math]. Тогда стек можно рассматривать как целое число в системе счисления с основанием [math]P[/math].
Будем использовать два счётчика для хранения состояний двух стеков, а третий счетчик будем использовать для временных вычислений. Для стека существует три типа элементарных операций: положить символ в стек, снять символ со стека, проверить верхний символ стека. Рассмотрим реализацию этих операция на трёхсчётчиковой машине.
- Снять символ со стека. Для того, чтобы снять символ, необходимо разделить число, которым представлен стек, на [math]P[/math], отбросив остаток. Пусть снимается символ с первого стека. Тогда обнулим третий счётчик. Будем уменьшать первый счётчик на [math]P[/math], и, если это удалось сделать, третий увеличивать на один. Эти действия будем повторять, пока первый счётчик не равен нулю. Затем скопируем значение с третьего счётчика на первый: пока третий счётчик не равен нулю, уменьшаем третий счётчик и увеличиваем первый.
- Добавить символ в стек. Для того, чтобы добавить символ, необходимо умножить число, которым представлен стек, на [math]P[/math] и прибавить к нему номер символа, который добавляется на стек. Пусть символ добавляется в первый стек. Тогда обнулим третий счётчик. Будем уменьшать первый счётчик на один и увеличивать третий на [math]P[/math]. Эти действия будем повторять, пока первый счётчик не равен нулю. Затем скопируем значение с третьего счётчика на первый.
- Проверка верхнего символа стека. Для этого необходимо найти остаток от деления на [math]P[/math]. Скопируем значение первого счётчика на третий. Реализуем деление с остатком при помощи введения дополнительных автоматов, входящих в управляющий автомат трехсчётчиковой машины. Этот автомат должен состоять из [math]P[/math] состояний. Каждое состояние соответствует определенному остатку от деления. В случае, если третий счётчик не нуль, автомат осуществляет переход в состояние, соответствующее следующему остатку от деления. Если третий счётчик нуль, то остаток найден и осуществляется переход в управляющем автомате, соответствующий от деления. Будем уменьшать третий счетчик, каждый раз переходя в следующее состояние автомата.
[math]\Leftarrow[/math]
Трёхсчётчиковая машина является частным случаем трёхстековой машины, а любая [math]k[/math]-стековая машина эквивалента по вычислительной мощности двухстековой, следовательно, любой язык, допускаемый трёхсчётчиковой машиной, допускается двухстековой. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Эквивалентность двухсчётчиковой машины трёхсчётчиковой
| Лемма: |
Для любого [math]k[/math] и для любой [math]k[/math]-счётчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчётчиковая машина. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Для доказательства покажем, как имитировать [math]k[/math]-счётчиковую машины на двухсчётчиковой. Пусть [math]C_1, C_2, ..., C_k[/math] — значения счётчиков [math]k[/math]-счётчиковой машины. Тогда состояние [math]k[/math]-счётчиковой машины можно охарактеризовать одним числом [math]2^{C_1}*3^{C_2}*...*p_k^{C_k}[/math], где [math]p_k[/math] — [math]k[/math]-е простое число.
Тогда любое состояние k-счётчиковой машины можно хранить на одном счётчике, и использовать второй счётчик для временных вычислений.
Тогда элементарные операции на [math]k[/math]-счётчиковой машине реализуются следующим образом.
- Увеличить [math]i[/math]-й счётчик. Для этого необходимо умножить значение счётчика на [math]p_i[/math].
- Уменьшить [math]i[/math]-й счётчик. Для этого необходимо поделить значение счётчика на [math]p_i[/math].
- Сравнить с нулём значение [math]i[/math]-го счётчика. Для этого необходимо найти остаток от деления значения счётчика на [math]p_i[/math] и сравнить его с нулём.
Операции умножения деления и нахождения остатка при помощи двух счётчиков описаны в предыдущей лемме.
Таким образом, для любого [math]k[/math] и для любой [math]k[/math]-счётчиковой машины существует эквивалентная ей двухсчётчиковая машина. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Эквивалентность двухсчётчиковой машины МТ
| Теорема: |
Для любого перечислимого языка [math]L[/math] существует двухсчётчиковая машина, которая распознает этот язык. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Утверждение теоремы очевидно следует из двух описанных выше лемм, эквивалентности двухстековой машины машине Тьюринга и тезиса Тьюринга-Черча. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Источники
- Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
