Помеченное дерево
| Определение: |
| Помеченным деревом порядка [math]n[/math] называется дерево, вершинам которого взаимно однозначно соответствуют числа от 1 до [math]n[/math]. |
Количество помеченных деревьев
| Теорема (Формула Кэли): |
Число помеченных деревьев порядка [math]n[/math] равно [math]n^{n - 2}[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Можно доказать формулу двумя способами:
- Доказательство 1. Так как между помеченными деревьями порядка [math]n[/math] и последовательностями длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] существует биекция (Код Прюфера),
то количество помеченных деревьев совпадает с количеством последовательностей длины [math]n - 2[/math] из чисел от [math]1[/math] до [math]n[/math] = [math]n^{n - 2}[/math].
- Доказательство 2. С помощью матрицы Кирхгофа для полного графа на [math]n[/math] вершинах. Число помеченных деревьев порядка [math]n[/math], очевидно, равно числу остовов в полном графе [math]K_n[/math], которое есть [math]n^{n-2}[/math] по следствию теоремы Кирхгофа.
|
| [math]\triangleleft[/math] |
Источники
Дискретная математика: Алгоритмы. Формула Кэли
