Теоретический минимум по математической логике за 3 семестр

1. Исчисление высказываний, общие определения. Таблицы истинности. Общезначимость.

Определение:

Одним из базовых понятий логики высказываний является пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание

Определение:

Языком исчисления высказываний мы назовем язык [math]L[/math], порождаемый следующей грамматикой со стартовым нетерминалом <выражение>: <выражение> ::= <импликация> <импликация> ::= <дизъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\rightarrow[/math] <импликация> <дизъюнкция> ::= <конъюнкция> [math]|[/math] <дизъюнкция> [math]\vee[/math] <конъюнкция> <конъюнкция> ::= <терм> [math]|[/math] <конъюнкция> [math]\&[/math] <терм> <терм> ::= <пропозициональная переменная> [math]|[/math] (<выражение>) [math]|[/math] [math]\neg[/math] <терм>

Определение:

Высказывание - любая формула, порожденная данными грамматиками.

TODO: таблицы истинности

Определение:

Назовем выражение общезначимым, если его оценка истинна при любой оценке входящих в него пропозициональных переменных. Запись: [math]\models \alpha[/math].

2. Доказуемость. Аксиомы исчисления высказываний. Корректность исчисления высказываний.

TODO: Доказуемость

Определение:

Формальная система - упорядоченная тройка [math]\langle L, A, R \rangle[/math], где [math]L[/math] --- некоторый язык, [math]A \subset L[/math] --- множество аксиом, а [math]R \subset (L^2 \cup L^3 \cup ...)[/math] - множество правил вывода

Определение:

Исчисление высказываний - формальная система, использующая в качестве языка язык исчисления высказываний, в качестве аксиом - следующие схемы выражений: [math](\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))[/math] [math]((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\pi))[/math] [math](\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi) \& (\psi)[/math] [math](\phi) \& (\psi) \rightarrow (\phi)[/math] [math](\phi) \& (\psi) \rightarrow (\psi)[/math] [math](\phi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)[/math] [math](\psi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)[/math] [math]((\phi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \vee (\psi) \rightarrow (\pi))[/math] [math]((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow \neg (\psi)) \rightarrow \neg (\phi)[/math] [math]\neg \neg (\phi) \rightarrow (\phi)[/math] , а правила вывода - все правила, порожденные согласованной заменой букв в [math]\langle{}\phi, (\phi) \rightarrow (\psi), \psi\rangle[/math].

TODO: Корректность исчисления высказываний

3. Вывод из допущений. Теорема о дедукции.

Будем обозначать буквами [math]\Gamma, \Delta, \Sigma[/math] списки формул (возможно, пустые).

Определение:

Пусть [math]\Gamma[/math] - некоторые список высказываний, [math]\alpha[/math] - некоторое высказывание в исчислении [math]\langle L, A, R \rangle[/math]. Тогда будем говорить, что [math]\alpha[/math] выводится из [math]\Gamma[/math] (запись: [math]\Gamma \vdash \alpha[/math]), если существует доказательство [math]\alpha[/math] в исчислении [math]\langle L, A_1, R \rangle[/math], где [math]A_1[/math] - это [math]A[/math] с добавленными формулами из [math]\Gamma[/math]. Элементы [math]\Gamma[/math] называются допущениями, предположениями, или гипотезами.

Теорема:

Пусть справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]

Теорема (о дедукции):

Пусть справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math].