Префикс-функция

Префикс-функция строки [math]s[/math] — функция [math]\pi(i) = max \{ j | j \leq k,[/math] [math]s[1..j] = s[i - j + 1..i] \}[/math].

Алгоритм

Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк.

Пример

Рассмотрим строку abcabcd, для которой префикс-функции равно [math][0,0,0,1,2,3,0][/math].

Шаг	Строка	Значение функции
[math]1[/math]	a	0
[math]2[/math]	ab	0
[math]3[/math]	abc	0
[math]4[/math]	abca	1
[math]5[/math]	abcab	2
[math]6[/math]	abcabc	3
[math]7[/math]	abcabcd	0

Псевдокод

 Prefix_function ([math]s[/math])
      [math] pi \leftarrow 0[/math]
      for [math]i \leftarrow 1[/math] to [math]n[/math]
          for [math]j \leftarrow 1[/math] to [math]i - 1[/math]
               if [math]s[1..j] = s[i - j + 1, i][/math]
                    [math] pi[i] \leftarrow j[/math]
      return [math]pi[/math]

Время работы

Всего [math]O(n^2)[/math] итерация цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за [math]O(n)[/math], что дает в итоге [math]O(n^3)[/math].