Основные определения, связанные со строками

Базовые определения

Определение:

Алфавитом [math]\sum[/math] называется конечное непустое множество элементов, называемых символами.

Определение:

Цепочкой (словом, строкой) конечной длины обозначим [math]\sum^* : \sum^* = \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \sum^n[/math].

Определение:

Конкатенацией строк [math]\alpha = \sum^k[/math] и [math]\beta = \sum^m[/math] является строка [math]\alpha\beta = \sum^{k+m}[/math]. Конкатенация является ассоциативной операцией.

Определение:

Нейтральным элементом (пустой строкой) [math]\varepsilon \in \sum^{0}[/math] называется элемент, для которого верно [math]\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math].

[math]\Sigma^*[/math] с операцией конкатенации и нейтральным элементом [math]\varepsilon[/math] образуют моноид. Данный моноид совпадает со свободным над [math]\Sigma[/math].

Отношения между строками

Определение:

[math]\alpha[/math] называется префиксом [math]\beta[/math], если [math]\beta = \alpha \gamma[/math]. Аналогично определяется суффикс строки.

Пусть [math]\beta = abracadabra[/math], тогда

• если [math]\alpha = abrac[/math], то [math]\alpha[/math] является префиксом [math]\beta[/math]
• если [math]\alpha = adabra[/math], то суффиксом.

Определение:

[math]\alpha[/math] называется бордером [math]\beta[/math], если [math]\alpha[/math] одновременно является и суффиксом и префиксом.

Пусть [math]\beta = abracadabra[/math], тогда [math]\alpha = abra[/math] будет бордером [math]\beta[/math].

Определение:

[math]p[/math] называется периодом [math]\alpha[/math], если [math]\forall i = 1 \ldots n - p[/math] [math]\alpha [i] = \alpha[i + p][/math].

Определение:

Пусть строка [math]x = \sum^n[/math] имеет период [math]p[/math], [math]r = n / p[/math] и [math]u = \sum^p[/math]. Тогда декомпозиция [math]x = u^p [/math] называется нормальной формой строковой последовательности [math]x[/math].

Определение:

Строка [math]x[/math] называется примитивной, если [math]r = 1[/math].

Определение:

Если [math]r \ge 2[/math], то строка [math]x[/math] называется сильнопериодической, если [math]1 \lt r \lt 2[/math], то слабопериодической. Если [math]r[/math] целое и [math]r \ge 2[/math], то строка [math]x[/math] называется строгопериодической (или просто периодической).

Строка [math]aaabaabab[/math] - примитивная [math](p = n)[/math].

Строка [math]abaababaabaab = (abaababa)(abaab)[/math] - слабопериодическая с периодом [math]p = 8[/math], порядком [math]r = 13/8[/math].

Строка [math]abaabaab = (aba)^2(ab)[/math] - сильнопериодическая с периодом [math]p = 3[/math], порядком [math]r = 8/3[/math].

Определение:

Строка [math]\alpha[/math] является подстрокой [math]\beta[/math], если [math]\beta = \gamma \alpha \delta[/math].

Строка [math]\alpha = aca[/math] является подстрокой [math]\beta = abracadabra[/math].

Определение:

Строка [math]\alpha \le \beta[/math], если: [math]\alpha[/math] префикс [math]\beta[/math] [math]\gamma[/math] общий префикс [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], [math]\alpha = \gamma c \delta[/math], [math]\beta = \gamma d \xi[/math] и [math]c \lt d[/math]