| Определение: |
| [math]TQBF[/math] расшивровывается как True Quantified Boolean Formula. Это язык верных булевых формул с кванторами.
[math]TQBF=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}[/math] |
Чтобы доказать, что [math]TQBF \in PSPACE-complete[/math] необходимо показать что:
| Лемма (1): |
[math]TQBF \in PSPACSE[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Чтобы доказать это просто приведём программу, которая требует [math]O(n)[/math] дополнительной памяти и работает за конечное время.
[math]solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n))[/math]
if [math]Q_1 == \forall[/math]
return [math]solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(0, x_2, \dots, x_n)) \land solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(1, x_2, \dots, x_n))[/math]
if [math]Q_1 == \exists[/math]
return [math]solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(0, x_2, \dots, x_n)) \lor solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(1, x_2, \dots, x_n))[/math]
Эта программа требует [math]O(n)[/math] дополнительной памяти для хранения стека рекурсивных вызовов. Максимальная глубина стека — [math]n[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (2): |
[math] \forall L \in PS \Rightarrow L \leq_p TQBF[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Рассмотрим какой-то язык [math]L \in PSPACE[/math]. Построим такую функцию [math]f : \forall x \in L \Leftrightarrow f(x) \in TQBF[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
