Алгоритмы построения выпуклых оболочек множества точек на плоскости

Эта статья находится в разработке!

Выпуклая оболочка множества точек

Определение:

Выпуклой оболочкой множества точек называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих все заданные точки.

Еще одно определение:

Определение:

Выпуклой оболочкой множества точек называется линейная комбинация минимального набора точек, дающая все остальные точки.

Некоторые свойства выпуклых оболочек:

1. Экстремальные всегда принадлежат выпуклой оболочке.
2. Для равномерно распределенных в прямоугольнике точек, выпуклая оболочка будет состоять из логарифма точек.
3. Если в изначальном массиве точка на 0-й позиции будет самой левой, то после построения выпуклой оболочки in-place она останется там же.

Пусть нам дано конечное множество точек на плоскости [math] D = \{d_0, d_1 \dots, d_n \}. [/math] [math] d_0 [/math] — cамая левая нижняя точка, лежит на выпуклой оболочке.

Рассмотрим алгоритмы, позволяющие построить выпуклую оболочку [math]D[/math]

Алгоритм Джарвиса

Алгоритм Джарвиса определяет последовательность точек, образующую выпуклую оболочку множества точек на плоскости. Так же известен как алгоритм "заворачивания подарка".

Время работы алгоритма — [math] O(h \cdot n) [/math], где [math] h [/math] — количество точек в выпуклой оболочке. В случае [math] h = n [/math] получаем [math] O(n ^ 2) [/math].

Алгоритм в силу своей простоты легко реализуется in-place.

Описание Алгоритма

Будем реализовывать алгоритм in-plaсe. Предположим, что [math] d_0, d_1, \dots, d_{i - 1} [/math] — первые [math] i [/math] точек выпуклой оболочки. Научимся находить следующую. Для этого будем перебирать все точки, еще не вошедшие в ответ (но включая [math] d_0 [/math]). Точка [math] d_{i + 1} [/math] — точка с наименьшим полярным углом [math] d_{i - 1} d_{i} d_{i + 1} [/math]

Псевдокод

int jarvis(std::vector<dot> &dots)
{
   int last = 0;
   dots.push_back(dots[0]);
   int size = dots.size();
   do
   {
      for(int i = last + 2; i < size; i++)
      {
         std::swap(dots[last + 1], max_element(dots[last + 1], dots[i]));
      }
   }
   while(dots[last] != dots[0]);
   
   std::swap(dots[last], dots[size - 1]);
   dots.pop_back();
   
   return last;
};

Алгоритм Грэма

Псевдокод

v = begin;
w = prev(v);
f = false;

while (next(v) != begin || f == false)
{
   if (next(v) == w)
      f:= true;
   if (left_turn(v, next(v), next(next(v))))
      v = next(v);
   else
   {
      next(v).erase();
      v = prev(v);
   }
}

Алгоритм Чена

Алгоритм Чена строит выпуклую оболочку конечного множества точек за [math] O(n\log h) [/math] без вырожденных случаев, где [math] h [/math] — количество точек в выпуклой оболочке. Основная идея заключается в том, чтобы разделить изначальное множество точек на группы по [math] h [/math] элементов, построить выпуклые оболочки для каждой из групп, потом слить их в одну общую оболочку.

Алгоритм состоит из трех этапов

1. Разбиение исходного множества точек на группы по [math] h [/math] элементов в каждой.
2. Построение выпуклых оболочек для групп.
3. Объединение выпуклых оболочек.

Предположим, что [math] h [/math] нам известно.

Исходное множество точек можно разбивать на группы любым способом. Для простоты будем выделять группы просто по порядку. Первые [math] h [/math] элементов — первая группа, следующие [math] h [/math] элементов — вторая группа и так далее.

Строить выпуклые оболочки для групп можно с помощью алгоритма Грэма за [math] O(h \log h) [/math]. Всего [math] m [/math] групп, получаем суммарную асимптотику [math] O(m h \log h) = O(n \log h). [/math]

Для объединения оболочек будем использовать обход по Джарвису. Самая левая точка точно лежит на общей внутренней оболочке. Научимся находить следующую точку. предположим, что мы умеем находить опорную прямую за [math] O(\log h). [/math] Всего оболочек [math] m [/math]. Получается, что точку мы умеем находить за [math] O(m \log h). [/math] Всего точек на выпуклой оболочке [math] h [/math]. Получаем объеденение оболочек за [math] O(m h \log h) = O(n \log h) [/math].

Выбор числа h

Заметим, что нам не обязательно знать точное значение [math] h [/math]. Нас утроит любое значение [math]\tilde h[/math], такое что [math]\log{\tilde h} = c \cdot \log h , c \ge 1 [/math].

Будем использовать следующий метод:

Будем брать [math] \tilde h = 2^{2^{t}} , t = 1, 2...[/math], пока [math] \tilde h \le h[/math]. На каждую итерацию потребуется [math] O(n \log {2 ^{2^{t}}}) = O(n \cdot 2 ^ {t})[/math].

[math] 2^{2^{t}} \ge h \Rightarrow t \ge \log \log h [/math].

Посчитаем, сколько нам понадобится времени на поиск [math] \tilde h [/math]

[math] \sum_{1}^{\log \log h} n \cdot 2 ^ t = n \cdot \sum_{1}^{\log \log h} 2 ^ t = [/math] [math] n \cdot 2 \cdot \frac{1 - 2^{\log \log h}}{1 - 2} = [/math] [math] n \cdot 2^{\log \log h + 1} - n \le n \cdot 2^{\log \log h + 1} = 2n \cdot \log h = O(n \cdot \log h)[/math]