Сортировка слиянием

Сортировка слиянием

Действие алгоритма.

Сортировка слиянием — Сор­ти­ров­ка слия­ни­ем — ве­ро­ят­но, один из са­мых про­стых ал­го­рит­мов сор­ти­ров­ки (сре­ди «быст­рых» ал­го­рит­мов). Осо­бен­но­стью это­го ал­го­рит­ма яв­ля­ет­ся то, что он ра­бо­та­ет с эле­мен­та­ми мас­си­ва пре­иму­ще­ствен­но по­сле­до­ва­тель­но, бла­го­да­ря че­му имен­но этот ал­го­ритм ис­поль­зу­ет­ся при сор­ти­ров­ке в си­сте­мах с раз­лич­ны­ми ап­па­рат­ны­ми огра­ни­че­ни­я­ми.

Кро­ме то­го, сор­ти­ров­ка слия­ни­ем — чуть ли не един­ствен­ный ал­го­ритм, ко­то­рый мо­жет быть эф­фек­тив­но ис­поль­зо­ван для сор­ти­ров­ки та­ких ст­рук­тур дан­ных, как свя­зан­ные спис­ки. По­сле­до­ва­тель­ная ра­бо­та с эле­мен­та­ми мас­си­ва зна­чи­тель­но уве­ли­чи­ва­ет ско­рость сор­ти­ров­ки в си­сте­мах с кэ­ши­ро­ва­ни­ем.

Сор­ти­ров­ка слия­ни­ем — ста­биль­ный ал­го­ритм сор­ти­ров­ки. Это озна­ча­ет, что по­ря­док «рав­ных» эле­мен­тов не из­ме­ня­ет­ся в ре­зуль­та­те ра­бо­ты ал­го­рит­ма. В не­ко­то­рых за­да­чах это свой­ство до­ста­точ­но важ­но. Этот ал­го­ритм был пред­ло­жен Джо­ном фон Ней­ма­ном в 1945 го­ду

Принцип работы

Эта сортировка — хороший пример использования принципа «разделяй и властвуй». Сначала задача разбивается на несколько подзадач меньшего размера. Затем эти задачи решаются с помощью рекурсивного вызова или непосредственно, если их размер достаточно мал. Наконец, их решения комбинируются, и получается решение исходной задачи.

Про­це­ду­ра слия­ния тре­бу­ет два от­сор­ти­ро­ван­ных мас­си­ва. За­ме­тив, что мас­сив из од­но­го эле­мен­та по опре­де­ле­нию яв­ля­ет­ся от­сор­ти­ро­ван­ным, мы мо­жем осу­ще­ствить сор­ти­ров­ку сле­дую­щим об­ра­зом:

1. Раз­бить имею­щие­ся эле­мен­ты мас­си­ва на па­ры и осу­ще­ствить слия­ние эле­мен­тов каж­дой па­ры, по­лу­чив от­сор­ти­ро­ван­ные це­поч­ки дли­ны 2 (кро­ме, быть мо­жет, од­но­го эле­мен­та, для ко­то­ро­го не на­шлось па­ры).

2. Раз­бить имею­щие­ся от­сор­ти­ро­ван­ные це­поч­ки на па­ры, и осу­ще­ствить слия­ние це­по­чек каж­дой па­ры.

3. Ес­ли чис­ло от­сор­ти­ро­ван­ных це­по­чек боль­ше еди­ни­цы, пе­рей­ти к ша­гу 2.

Слияние 2-х массивов

Допустим, у нас есть два отсортированных массива А и B размерами [math]N_a [/math] и [math]N_b [/math] со­ответственно, и мы хотим объединить их элементы в один большой отсортирован­ный массив C размером [math]N_a + N_b [/math] . Для этого можно применить процедуру слия­ния, суть которой заключается в повторяющемся «отделении» элемента, наи­меньшего из двух имеющихся в началах исходных массивов, и присоединении это­го элемента к концу результирующего массива. Элементы мы переносим до тех пор, пока один из исходных массивов не закончится. После этого оставшийся «хвост» одного из входных массивов дописывается в конец результирующего мас­сива. Пример работы процедуры показан на рисунке:

Пример работы процедуры слияния.

Алгоритм слияния формально можно записать следующим образом:

Рекурсивный алгоритм

Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием

Проще всего формализовать этот алгоритм рекурсивным способом. Функ­ция сортирует участок массива от элемента с номером a до элемен­та с номером b:

// r и l - правая и левая граница массива, m - середина

// делим на 2 половины

[math]m[/math] [math]=[/math] [math]r[/math] [math]/[/math] [math]2[/math]

// условие выхода - если массив стал состоять из 1 элемента

[math]if[/math] [math]m[/math] [math]==[/math] [math]r[/math]

[math]return[/math]

// рекурсивная сортировка правой и левой частей, в функцию передаются левая и правая границы массива

[math]sort[/math] [math]a[l..m][/math]

[math]sort[/math] [math]a[m+1..r][/math]

// делаем процедуру слияния 2х отсортированных половонок

[math]merge[/math] [math]a[l..m][/math] [math]and[/math] [math]a[m+1..r][/math]

Пример работы алгоритма показан на рисунке:

Время работы

Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай [math]T(n)[/math] - время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо [math]T(n)=2T(n/2)+O(n)[/math]
([math]O(n)[/math] - это время, необходимое на то, чтобы слить два массива). Распишем это соотношение:

[math]T(n)[/math] [math]=[/math] [math]2T(n/2)[/math] [math]+[/math] [math]O(n)[/math] [math]=[/math] [math]4T(n/4)[/math] [math]+[/math] [math]2*O(n)[/math] [math]=[/math] [math]...[/math] [math]=[/math] [math]2^kT(1)[/math] [math]+[/math] [math]kO(n).[/math]

Осталось оценить [math]k[/math]. Мы знаем, что [math]2^k=n[/math], а значит [math]k=\log(n)[/math]. Уравнение примет вид [math]T(n)=nT(1)+ \log(n)O(n)[/math]. Так как [math]T(1)[/math] - константа, то [math]T(n)=O(n)+\log(n)O(n)=O(n\log(n))[/math].

Свойства

Стабильный.

[math]O(n)[/math] дополнительной памяти для массива.

[math]O(lg(n))[/math] дополнительной памяти для связных списков.

[math]O(n[/math] [math]lg(n))[/math] времени.

Ссылки

• Википедия - сортировка слиянием
• Сортировка слиянием
• Сортировка слиянием, анимация и свойства (англ.)
• Примеры реализации на различных языках (Википедия)