Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math].
Тогда сразу следуют следующие утверждения
- число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
- [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
- [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].
| Теорема (Лагранж): |
Число[math]\alpha[/math] представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\Rightarrow[/math].
[math]\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle[/math], тогда введём [math]\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle[/math]. Тогда [math]\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle[/math]. [math]\alpha_k=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1}')\alpha_k+P_{n-1}'=0[/math]
Поэтому [math]\alpha_k[/math] квадратичная иррациональность, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получим, что [math]\alpha = \frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}[/math]. Поэтому и [math]\alpha[/math] квадратичная иррациональность.
[math]\Leftarrow[/math].
Пусть [math]a\alpha^2+b\alpha+c=0[/math]. Разложим [math]\alpha[/math] в цепную дробь и для [math]\all k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
