Эта статья требует доработки!
- Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
- Надо убрать алгоритм построения.
- Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math], в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.
Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).
| Определение: |
| Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math]. |
Таблицы умножения для конечных групп
Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.
Структура
Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.
Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:
| *
|
a1
|
a2
|
...
|
an
|
| a1
|
a1a1 |
a1a2 |
... |
a1an
|
| a2
|
a2a1 |
a2a2 |
... |
a2an
|
| ...
|
... |
... |
... |
...
|
| an
|
ana1 |
ana2 |
... |
anan
|
Свойства
1) Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы
2) Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна
Построение
Вследствие первого свойства, можно заполнить таблицу не имея всей информации об операции умножения. Если таблицу заполнить не удаётся(нарушается первое свойство - в ряде или колонке оказывается 2 одинаковых элемента), значит операции, удовлетворяющей данным соотношениям, не существует.
Алгоритм построения:
1) заполнить "скелет" таблицы - ячейки в которых стоит нейтральный элемент. "Скелет" симметричен относительно главной диагонали(если a - обратный к b, то b - обратный к a, то есть любой элемент коммутирует со своим обратным).
2) используя известные соотношения и свойство 1 заполнить таблицу.
Замечание: по соглашению в заголовках таблицы 1-ым идёт нейтральный элемент, затем элементы, которые совпадают с обратным, затем остальные.
Примеры таблиц умножения для конечных групп
1) n = 1
2) n = 2
3) n = 3
| *
|
e
|
a
|
b
|
| e
|
e |
a |
b
|
| a
|
a |
b |
e
|
| b
|
b |
e |
a
|
4) n = 4
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
| e
|
e |
a |
b |
c
|
| a
|
a |
e |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
e |
a
|
| c
|
c |
b |
a |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
| e
|
e |
a |
b |
c
|
| a
|
a |
b |
c |
e
|
| b
|
b |
c |
e |
a
|
| c
|
c |
e |
a |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
| e
|
e |
a |
b |
c
|
| a
|
a |
e |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
a |
e
|
| c
|
c |
b |
e |
a
|
5) n = 5
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
e
|
| b
|
b |
c |
d |
e |
a
|
| c
|
c |
d |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
a |
b |
c
|
6) n = 6
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
b |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
e |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
a |
e
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
e |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
d |
f |
b
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
e |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
e |
a |
d
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
b |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
a |
e
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
e |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
e |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
c |
f |
b |
d
|
| b
|
b |
c |
f |
d |
a |
e
|
| c
|
c |
b |
d |
e |
f |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
b |
f |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
e |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
e |
c |
b
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
b |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
e |
a |
f |
d
|
| c
|
c |
b |
f |
d |
a |
e
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
c |
e |
b |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
b |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
e |
a |
d
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
c |
e
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
e |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
b |
f |
e |
a |
d
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
b |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
b |
c
|
| b
|
b |
c |
f |
e |
a |
d
|
| c
|
c |
b |
e |
d |
f |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
c |
e
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
e |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
e |
d |
f |
c |
b
|
| b
|
b |
c |
f |
e |
a |
d
|
| c
|
c |
b |
e |
d |
f |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
b |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
f |
c |
a |
b |
e
|
| f
|
f |
c |
d |
b |
e |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
c |
a |
e |
b
|
| f
|
f |
c |
d |
b |
a |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
a |
e |
b
|
| d
|
d |
f |
c |
e |
b |
a
|
| f
|
f |
c |
d |
b |
a |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
e |
d |
f |
c
|
| b
|
b |
e |
a |
f |
c |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
a |
b |
e
|
| d
|
d |
f |
c |
b |
e |
a
|
| f
|
f |
c |
d |
e |
a |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
e |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
e |
a
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
a |
b
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
e |
f |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
f |
a |
e
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
d |
e |
f |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
c |
e
|
| f
|
f |
d |
c |
a |
e |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
d |
e |
f |
c
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
e |
f |
d |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
c |
a |
e |
b
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
e |
f |
a |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
a |
e |
b
|
| d
|
d |
f |
a |
e |
b |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
b |
c |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
a |
f |
e |
d
|
| c
|
c |
d |
f |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
f |
e |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
b |
c |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
d |
f |
e
|
| b
|
b |
c |
f |
e |
a |
d
|
| c
|
c |
d |
e |
f |
b |
a
|
| d
|
d |
f |
a |
b |
e |
c
|
| f
|
f |
e |
d |
a |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
f |
d |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
f |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
e |
d |
f |
a
|
| c
|
c |
f |
d |
a |
b |
e
|
| d
|
d |
e |
f |
b |
a |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
e |
c |
b
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
a |
d |
f |
e
|
| c
|
c |
f |
d |
e |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
f |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
e |
b |
c |
a
|
| *
|
e
|
a
|
b
|
c
|
d
|
f
|
| e
|
e |
a |
b |
c |
d |
f
|
| a
|
a |
b |
c |
f |
e |
d
|
| b
|
b |
c |
d |
e |
f |
a
|
| c
|
c |
f |
e |
d |
a |
b
|
| d
|
d |
e |
f |
a |
b |
c
|
| f
|
f |
d |
a |
b |
c |
e
|
