Конечная группа

Эта статья требует доработки!

1. Не надо приводить таблицы умножения изоморфных групп. Группы, таблицы умножения которых приведены в статье, надо "расшифровать". Они все являются группами из примеров групп.
2. (исправлено)Надо убрать алгоритм построения.
3. Надо привести некоторые свойства конечных групп: все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math], в простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы. Свойства надо доказать.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Определение:

Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].

Таблицы умножения для конечных групп

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

*	a1	a2	...	an
a1	a1a1	a1a2	...	a1an
a2	a2a1	a2a2	...	a2an
...	...	...	...	...
an	ana1	ana2	...	anan

Свойства

Утверждение:

Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a,b,c,d \in G[/math]. Тогда [math]a*b=d \enskip \& \enskip a*c=d \Rightarrow b=c[/math]. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна

[math]\triangleright[/math]

Таблица симметрична [math]\Rightarrow a*b = b*a[/math] для любых [math]a,b \in G[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]

[math]\triangleright[/math]

темп

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

В простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы

[math]\triangleright[/math]

темп

[math]\triangleleft[/math]

Примеры таблиц умножения для конечных групп

1) n = 1

*	e
e	e

2) n = 2

*	e	a
e	e	a
a	a	e

3) n = 3

*	e	a	b
e	e	a	b
a	a	b	e
b	b	e	a

4) n = 4

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	a	e
c	c	b	e	a

5) n = 5

*	e	a	b	c	d
e	e	a	b	c	d
a	a	b	c	d	e
b	b	c	d	e	a
c	c	d	e	a	b
d	d	e	a	b	c

6) n = 6

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	c	b	f	d
b	b	c	d	f	e	a
c	c	b	f	d	a	e
d	d	f	e	a	b	c
f	f	d	a	e	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	c	d	f	b
b	b	c	d	f	e	a
c	c	b	f	e	a	d
d	d	f	e	a	b	c
f	f	d	a	b	c	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	c	b	f	d
b	b	c	d	f	a	e
c	c	b	f	d	e	a
d	d	f	a	e	b	c
f	f	d	e	a	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	c	f	b	d
b	b	c	f	d	a	e
c	c	b	d	e	f	a
d	d	f	a	b	e	c
f	f	d	e	a	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	b	f	c
b	b	c	e	f	a	d
c	c	b	f	d	e	a
d	d	f	a	e	c	b
f	f	d	c	a	b	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	c	b
b	b	c	e	a	f	d
c	c	b	f	d	a	e
d	d	f	a	b	e	c
f	f	d	c	e	b	a

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	b	c
b	b	c	e	d	f	a
c	c	b	f	e	a	d
d	d	f	a	b	c	e
f	f	d	c	a	e	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	c	b
b	b	c	e	d	f	a
c	c	b	f	e	a	d
d	d	f	a	b	e	c
f	f	d	c	a	b	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	b	c
b	b	c	f	e	a	d
c	c	b	e	d	f	a
d	d	f	a	b	c	e
f	f	d	c	a	e	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	c	b
b	b	c	f	e	a	d
c	c	b	e	d	f	a
d	d	f	a	b	e	c
f	f	d	c	a	b	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	e	d	f	c
b	b	e	a	f	c	d
c	c	d	f	e	a	b
d	d	f	c	a	b	e
f	f	c	d	b	e	a

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	e	d	f	c
b	b	e	a	f	c	d
c	c	d	f	e	b	a
d	d	f	c	a	e	b
f	f	c	d	b	a	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	e	d	f	c
b	b	e	a	f	c	d
c	c	d	f	a	e	b
d	d	f	c	e	b	a
f	f	c	d	b	a	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	e	d	f	c
b	b	e	a	f	c	d
c	c	d	f	a	b	e
d	d	f	c	b	e	a
f	f	c	d	e	a	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	e	f	d
b	b	c	d	f	e	a
c	c	e	f	d	a	b
d	d	f	e	a	b	c
f	f	d	a	b	c	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	e	f	d
b	b	c	d	f	a	e
c	c	e	f	d	b	a
d	d	f	a	b	e	c
f	f	d	e	a	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	d	e	f	c
b	b	c	e	f	a	d
c	c	e	f	d	b	a
d	d	f	a	b	c	e
f	f	d	c	a	e	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	d	e	f	c
b	b	c	e	f	a	d
c	c	e	f	d	b	a
d	d	f	c	a	e	b
f	f	d	a	b	c	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	d	f	e
b	b	c	e	f	a	d
c	c	d	f	e	b	a
d	d	f	a	b	e	c
f	f	e	d	a	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	d	f	e
b	b	c	e	f	a	d
c	c	d	f	a	e	b
d	d	f	a	e	b	c
f	f	e	d	b	c	a

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	d	f	e
b	b	c	a	f	e	d
c	c	d	f	e	a	b
d	d	f	e	a	b	c
f	f	e	d	b	c	a

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	d	f	e
b	b	c	f	e	a	d
c	c	d	e	f	b	a
d	d	f	a	b	e	c
f	f	e	d	a	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	f	e	d
b	b	c	e	d	f	a
c	c	f	d	e	a	b
d	d	e	f	a	b	c
f	f	d	a	b	c	e

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	f	e	d
b	b	c	e	d	f	a
c	c	f	d	a	b	e
d	d	e	f	b	a	c
f	f	d	a	e	c	b

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	f	e	d
b	b	c	a	d	f	e
c	c	f	d	e	a	b
d	d	e	f	a	b	c
f	f	d	e	b	c	a

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	b	c	f	e	d
b	b	c	d	e	f	a
c	c	f	e	d	a	b
d	d	e	f	a	b	c
f	f	d	a	b	c	e