Теорема Лузина-Данжуа
не трогать, пилю! --Дмитрий Герасимов 12:44, 24 июня 2012 (GST)
Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:
\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n|
Если \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) сходится, то тригонометрический ряд также будет сходящимся.
Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.
Рассмотрим, например, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!}, n \ge k, sin(\pi n! x_k) = sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0, то есть ряд абсолютно сходится. Однако, b_{n!} = 1, и ряд из коэффициентов расходится. \
Однако, есть важная теорема:
a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \phi_n)
\sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, следовательно, ряды \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) и \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) равносходятся.
| Теорема (Лузин, Данжуа): |
Пусть тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} сходится, то есть ряд будет абсолютно сходящимся. |
| Доказательство: |
| \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |
Таким образом, отождествили сходимость рядов \sum\limits_1^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) и \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|).
Запишем условие абсолютной сходимости на языке наилучших приближений.
| Теорема: |
f \in L_2, \sum\limits_1^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2 |
Тогда ряд Фурье абсолютно сходится. |proof= E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1)^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)). Докажем, что \sum \sqrt{a_k^2 + b_k^2) < + \infty в условиях теоремы \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} =
\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits{n = 1}^{k} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le (используем неравенство Коши для сумм)
\le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12}
Выражение под первой суммой равно E_{n-1}(f)_{L_2}, вторая сумма \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \xrightarrow[k \to \infty]{} (\frac1n)^{\frac12}
Таким образом, < \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty, таким образом, ряд из r_n сходится. }}
