Теорема Джексона
Не трогать --Дмитрий Герасимов 18:53, 24 июня 2012 (GST)
Ранее нами введено приближение в C:
E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n.
Наилучшее приближение:
\exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C — полином наилучшего приближения.
E_n(f) — полунорма, \forall T \in H_n, E_n(T) = 0. E_n(f) = E_n(f + T)
\omega(f, h)_C — модуль непрерывности функции = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h|} |f(x_2) - f(x_1)|
E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0.
Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является модуль непрерывности.
Чтобы судить о E_n(f), надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.
Типичный прием — интегрирование свертки с тригонометрическим ядром.
s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt
\sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt
Получающиеся интегралы являются тригонометрическими полиномами.
A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n — тригонометрический полином. Заменим y = x + t.
A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy
J_n(y - x) = T(x) — тригонометрический полином по x, коэффициенты которого зависят от y.
A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt.
\int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0.
|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| |J_n(t)| dt
|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le (применим неравенство Йенсена для выпуклых функций) \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt)
f — непрерывная, 2 \pi - периодическая функция.
\| f - A(f) \|_C \le 2 \sigma (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \int\limits_Q |t| J_n(t) dt называется первым, абсолютным моментом ядра.
Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы \omega \to 0 при n \to \infty.
Одним из этих ядер является ядро Джексона.
d_n(t) \in H_{2n-2} — тригонометрический полином
\int\limits_Q d_n(t) = 1
Докажем, что \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} — установим этот факт:
\int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi}
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n}
\int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \left) \le b \frac{1}{n}. Неравенство установили.
Теорема Джексона
| Теорема (Джексон): |
f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1}) |
| Доказательство: |
|
Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt — интеграл Джексона Y_n(f) \in H_{2n - 2} E_{2n - 2} (f) \le \ |
Следствия
f \in C^1 — непрерывная, дифференциируемая
|f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C
\omega(f, h) \le \| f' \|_C h
\omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1}
Следствие:
f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1}
f \in C^{(p)}
E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n
Рассмотрим T_n(f'). Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от 0 до x, мы получим тригонометрический полином.
\int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n
Подставим это в предыдущее равенство вместо T:
E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|)
\frac12 a_0(T_n(f')) \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx
f' — 2 \pi-периодична \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0
\frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx
|\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f')
Утверждение:
f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f')
p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1}
p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f \|_C
По индукции приходим к:
f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p — const.
То есть чем больше дифференциируемая(гладкая) функция, тем быстрее наилучшее приближение стремится к нулю.
