Теоретический минимум по математическому анализу за 4 семестр
Содержание
- 1 1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в [math]L_1[/math]
- 2 2 Ядра Дирихле и Фейера
- 3 3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)
- 4 4 Теорема Фробениуса
- 5 5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве
- 6 6 Теорема Фейера
- 7 7 Следствие о двух пределах
- 8 8 Всюду плотность множества [math] C [/math] в пространствах [math] L_p [/math]
- 9 9 Теорема Фейера в пространствах [math]L_p[/math]
- 10 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства
- 11 11 Существование элемента наилучшего приближения
- 12 12 Обобщенная теорема Вейерштрасса
- 13 13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из [math]L_1[/math]
- 14 14 Теорема Дини
- 15 15 Следствие о четырех пределах
- 16 16 Полная вариация функции и ее аддитивность
- 17 17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций
- 18 18 Условие существования интеграла Стилтьесса
- 19 19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции
- 20 20 Аддитивность интеграла Стилтьесса
- 21 21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана
- 22 22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса
- 23 23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации
- 24 24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации
- 25 25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье
- 26 26 Ряды Фурье в [math]L_2[/math] : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
- 27 27 Замкнутые и полные о.н.с.
- 28 28 Равенство Парсеваля
- 29 29 Теорема Лузина-Данжуа
- 30 30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из [math]L_2[/math]
- 31 31 Принцип локализации для рядов Фурье
- 32 32 Почленное интегрирование ряда Фурье
- 33 33 Модуль непрерывности и его свойства
- 34 34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности
- 35 35 Модуль непрерывности в пространстве [math] C [/math]
- 36 36 Ядро Джексона
- 37 37 Теорема Джексона
- 38 38 Следствия для C^r
- 39 39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов
- 40 40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений
- 41 41 Явление Гиббса
- 42 42 Константа Лебега ядра Дирихле
- 43 43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега
- 44 44 Частный интеграл Фурье
- 45 45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье
1 Определение ряда Фурье, теорема о коэффициентах тригонометрического ряда, сходящегося в
Определение: |
То есть, . | — совокупность -периодических функций, суммируемых с -й степенью на промежутке .
Определение: |
Тригонометрическим рядом называется ряд:
Если, начиная с какого-то места, . , то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом. |
Теорема: |
Пусть тригонометрический ряд сходится в и имеет суммой функцию . Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
. |
Определение: |
Пусть функция | . Ряд Фурье — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
2 Ядра Дирихле и Фейера
Определение: |
— тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле. |
Определение: |
— интеграл Дирихле. |
Определение: |
. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки c ядром . |
Определение: |
— тригонометрический полином такого вида называется ядром Фейера. |
3 Способы суммирование рядов в НП (нормированное пространство)
TODO: пилим
4 Теорема Фробениуса
Теорема (Фробениус): |
(с.а) (А). |
5 Тауберова теорема Харди для метода средних арифметических суммирования рядов в нормированном пространстве
Теорема (Харди): |
(с.а.)
Тогда, если существует такое , что , то . |
6 Теорема Фейера
Теорема (Фейер): |
Пусть , , ,
. Тогда |
7 Следствие о двух пределах
Утверждение (следствие Фейера о двух пределах): |
Пусть точка — регулярная, тогда в ней |
8 Всюду плотность множества в пространствах
Теорема: |
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в |
9 Теорема Фейера в пространствах
.
10 Наилучшее приближение в НП и его свойства
Пусть
— нормированное пространство, к примеру, . Пусть — линейное множество в , например, (тригонометрических полиномов степени не больше ).Определение: |
Для любого | величина называется наилучшим приближением точки элементами линейного множества . Если при этом существует такой, что , то этот называется элементом наилучшего приближения точки .
Заметим: гарантий, что
единственный и что он вообще существует, нет.Утверждение: |
Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника. |
11 Существование элемента наилучшего приближения
Теорема: |
Пусть — нормированное пространство, , тогда существует элемент наилучшего приближения . |
12 Обобщенная теорема Вейерштрасса
Теорема (Вейерштрасс, обычная теорема Вейерштрасса): |
Пусть функция непрерывна на отрезке .
Тогда |
Теорема (Теорема Вейерштрасса в | ):
. |
13 Лемма Римана-Лебега о коэффициентах Фурье функции из
Лемма (Риман-Лебег): |
Пусть , тогда при , . |
14 Теорема Дини
Теорема (Дини): |
, , , где . Тогда |
15 Следствие о четырех пределах
Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)): |
Пусть в точке существует (левый и правый пределы) и , . Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна |
16 Полная вариация функции и ее аддитивность
Определение: |
Вариацией функции Полной вариацией называется | по разбиению называется .
Теорема (аддитивность вариации): |
Пусть и , тогда . |
17 О разложении функции ограниченной вариации в разность возрастающих функций
Теорема: |
— функция ограниченной вариации ( ) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ( ). |
18 Условие существования интеграла Стилтьесса
<wikitex>Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и весовая функция $g$, причем $g$ — не убывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. $g$ не убывает, $\Delta g_k \ge 0$).
Определение: |
Интегралом Римана-Стилтьеса называется $\int\limits_a^b f dg = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma (f, g, \tau) $, где $\operatorname{rang} \tau = \max(\Delta x_0, \dots \Delta x_{n-1})$. Класс функций, у которых существует интеграл Римана-Стилтьеса обозначанется как $\mathcal{R}(g)$. |
Далее аналогично интегралу Римана введем $\omega(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k$, где $m_k = \inf\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f, M_k = \sup\limits_{[x_k \dots x_{k+1}]} f$.
</wikitex>
Теорема (Критерий существования интеграла Римана-Стилтьеса): |
. |
19 Интегрируемость по Стилтьессу непрерывной функции
<wikitex>
Теорема (о существовании интеграла Римана-Стилтьеса): |
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, $g \in V(a, b)$. Тогда интеграл Римана-Стилтьеса $ \int\limits_a^b f dg $ существует. |
</wikitex>
20 Аддитивность интеграла Стилтьесса
<wikitex> Уточним аддитивность интеграла:
- $ \exists \int\limits_a^b f dg, \exists \int\limits_a^c f dg, \exists \int\limits_b^c f dg \Rightarrow \int\limits_a^c = \int\limits_a^b + \int\limits_b^c $
- $ \exists \int\limits_a^d \Rightarrow \exists \int\limits_b^c$, где $ [b, c] \in [a, d]$.
- Для интеграла Римана из существования $\int\limits_a^b $ и $\int\limits_b^c$ следует существование $\int\limits_a^c$. Для интеграла Римана-Стилтьеса в общем случае это неверно.
</wikitex>
21 Сведение интеграла Стилтьесса к интегралу Римана
<wikitex>
Утверждение: |
Пусть $g'$ непрерывна на $[a, b]$ и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$. |
</wikitex>
22 Формула интегрирования по частям для интеграла Стилтьесса
<wikitex>
Теорема (формула интегрирования по частям): |
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl |
</wikitex>
23 Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации
<wikitex> Пусть $2\pi$-периодическая функция $f \in \bigvee(0, 2\pi)$. Тогда:
- $|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
- $|b_n(f)| \le \frac{1}{\pi n} \bigvee\limits_{-\pi}^{\pi}(f)$
</wikitex>
24 Теорема Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации
Теорема (Жордан): |
Ряд Фурье -периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
|
25 Условие равномерной сходимости ряда Фурье
Теорема: |
Пусть ( — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье. |
26 Ряды Фурье в : экстремальное свойство сумм Фурье, неравенство Бесселя
Пусть
— ОНС, , , , , .Экстремальное свойство:
.Из него получается неравенство Бесселя:
27 Замкнутые и полные о.н.с.
- ОНС — замкнута: ( .
- ОНС — полная: (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
Теорема: |
ОНС — полная ОНС — замкнутая |
28 Равенство Парсеваля
Утверждение (Парсеваль): |
. |
29 Теорема Лузина-Данжуа
Теорема (Лузин, Данжуа): |
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси. |
30 Условие абсолютной сходимости ряда Фурье функции из
Теорема: |
Тогда ряд Фурье абсолютно сходится. |
31 Принцип локализации для рядов Фурье
Теорема (Риман): |
Пусть , , .
Пусть также в -окрестности точки выполняется , тогда |
32 Почленное интегрирование ряда Фурье
, где
33 Модуль непрерывности и его свойства
Определение: |
Функция называется модулем непрерывности, если:
|
34 Теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности
Класс модулей непрерывности обозначим
. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим .Теорема (о выпуклом модуле непрерывности): |
Пусть . Тогда существует такая, что
|
35 Модуль непрерывности в пространстве
—36 Ядро Джексона
Определение: |
Ядро Джексона — тригонометрический полином, определяющийся как | , .
37 Теорема Джексона
Теорема (Джексон): |
38 Следствия для C^r
.
39 Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов
Теорема (Бернштейн): |
. Константу уменьшить нельзя |
40 Обратная теорема Бернштейна теории приближений
Теорема (Бернштейн): |
41 Явление Гиббса
Определение: |
Явление Гиббса — некоторое особое поведение частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва разлагаемой функции. |
42 Константа Лебега ядра Дирихле
называется константой Лебега. .
43 Оценка отклонения сумм Фурье через константу Лебега
TODO: пилим
44 Частный интеграл Фурье
TODO: пилим
45 Признак Дини сходимости интеграла Фурье
Положим для
.
(модуль непрерывности функции
в точке ).Если функция
удовлетворяет условию,
то её ряд Фурье в точке
сходится к .