Алгоритм Борувки

Алгоритм Борувки — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

Пусть [math]T[/math] подграф графа [math]G[/math]. Изначально [math]T[/math] содердит все вершины из [math]G[/math] и не содержит ребер.

Будем добавлять в [math]T[/math] ребра следующим образом:

Пока [math]T[/math] не является деревом

1. Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.
2. Добавим в [math]T[/math] все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.

Получившийся граф [math]T[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Доказательство корректности

Лемма:

Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G = (V, E) [/math] с весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math]. Тогда после первой итерации алгоритма Борувки получившийся подграф можно достроить до MST.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим обратное: пусть любое MST графа [math]G[/math] не содержит [math]T[/math]. Рассмотрим какое-нибудь MST.Тогда существует ребро x из [math]T[/math] такое что [math]x[/math] не принадлежит MST. Добавив ребро [math]x[/math] в MST получаем цикл в котором [math]x[/math] не максимально т.к оно было минимальным. Тогда, исходя из критерия тарьяна, получаем противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Алгоритм Борувки строит MST.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что агоритм Борувки строит дерево.Будем доказывать что после каждой итерации главного цикла в алгоритме Борувки мы можем текущий подграф [math]T[/math] до MST. Докажем это по индукции. База: n = 1(Лемма 1). Переход: Пусть лес T получившийся после n итераций алгоритма можно достроить до MST. Докажем что после n+1-й итерации получившийся лес T' можно достроить до MST.Предположим обратное: T' нельзя достроить до MST. Тогда существует F = MST графа G, содержащее T и не содержащее T'. Тогда рассмотрим цикл получающийся добавлением в F какого-нибудь ребра x из T' - T. На этом цикле имеется ребро большее по весу чем ребро x, иначе компонента для которой x было минимальным ни с кем больше ни связана.Следовательно исходя из критерия тарьяна мы получили противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Реализация

Graph Boruvka(Graph G) while T.size < n init() // у вершины есть поле comp(компонента которой принадлежит вершина) findComp(T) // разбиваеv граф T на компоненты связынности обычным dfs-ом for uv [math]\in[/math] E if u.comp != v.comp if minEdge[u.comp].w < uv.w minEdge[u.comp] = uv if minEdge[v.comp].w < uv.w minEdge[v.comp] = uv) for k [math]\in[/math] Comp // Comp — множество компонент связанности в T T.addEdge(minEdge[k]) return T;

Асимптотика

Время работы внутри главного цикла будет равно [math]O(E + V)[/math].

Количество итераций которое выполняется главным циклом равно [math]O(\log{V})[/math] так как на каждой итерации количество компонент связанности уменьшается в 2 раза (изначально количество компонент равно [math]|V|[/math], в итоге должна стать одна компонента).

Общее время работы алгоритма получается [math]O(E\log{V})[/math]

Литература

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

См. также

• Алгоритм Прима
• Алгоритм Краскала