Поток минимальной стоимости

Определение задачи

Задача о потоке минимальной стоимости состоит в нахождении среди всех потоков данной величины наименее затратного.

Определение:

Дано число [math]f_0[/math] и транспортная сеть [math]\,G(V,E)[/math] с источником [math]s \in V[/math] и стоком [math]t \in V[/math], где ребра [math](u,v) \in E[/math] имеют пропускную способность [math]\,c(u,v)[/math] и цену [math]\,p(u,v)[/math]. Суть задачи — найти поток [math]f(u, v)[/math]: [math]p(f) = \sum_{u,v \in V, f(u,v)\gt 0} p(u,v) \cdot f(u,v) \rightarrow min [/math]. [math]|f| = \sum_{u,v \in V, f(u,v)\gt 0} f(u,v) = f_0[/math]

Алгоритмы решения

• Найти любой поток величины [math]f_0[/math], после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графе. Чтобы избавиться от цикла, надо пустить по нему максимально возможный поток. Циклы ищутся алгоритмом Форда-Беллмана.
• Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости.
• Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма).

Ссылки

• Википедия - Поток минимальной стоимости
• Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости
• Хабрахабр - Максимальный поток минимальной стоимости

Литература

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)