Использование обхода в глубину для топологической сортировки

Топологическая сортировка ориентированного ациклического графа [math]G = (V, E)[/math] представляет собой такое линейное упорядочение всех его вершин, что если [math](u, v) \in E(G)[/math], то [math]u[/math] при таком упорядочении располагается до [math]v\ [/math] (если граф не является ациклическим, такая сортировка невозможна).

Применение

Топологическая сортировка применяется в самых разных ситуациях, например при создании параллельных алгоритмов, когда по некоторому описанию алгоритма нужно составить граф зависимостей его операций и, отсортировав его топологически, определить, какие из операций являются независимыми и могут выполняться параллельно (одновременно). Примером использования топологической сортировки может служить создание карты сайта, где имеет место древовидная система разделов. Также топологическая сортировка применяется при обработке исходного кода программы в некоторых компиляторах и IDE, где строится граф зависимостей между сущностями, после чего они инициализируются в нужном порядке, либо выдается ошибка о циклической зависимости.

Постановка задачи

Теорема:

[math]G[/math] — ациклический ориентированный граф, тогда [math]\exists \ \varphi : V \to \{ 1..n \} , uv \in E \Rightarrow \varphi (u) \lt \varphi (v) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Определим [math]leave[u][/math] как порядковый номер окраски вершины [math]u[/math] в черный цвет в результате работы алгоритма dfs. Рассмотрим функцию [math]\varphi = n + 1 - leave[u] [/math]. Очевидно, что такая функция подходит под критерий функции [math]\varphi[/math] из условия теоремы, если выполняется следующее утверждение: Лемма: [math]G[/math] — ациклический ориентированный граф, тогда [math]uv \in E \Rightarrow leave[u] \gt leave[v][/math] Доказательство: [math]\triangleright[/math] Рассмотрим произвольное ребро [math](u, v)[/math], исследуемое процедурой [math]dfs[/math]. При исследовании вершина [math]v[/math] не может быть серой, так как серые вершины в процессе работы [math]dfs[/math] всегда образуют простой путь в графе, и факт попадания в серую вершину [math]v[/math] означает, что в графе есть цикл из серых вершин, что противоречит условию утверждения. Следовательно, вершина [math]v[/math] должна быть белой либо черной. Если вершина [math]v[/math] — белая, то она становится потомком [math]u[/math], так что [math]leave[u] \gt leave[v][/math]. Если [math]v[/math] — черная, значит, работа с ней уже завершена и значение [math]leave[v][/math] уже установлено. Поскольку мы все еще работаем с вершиной [math]u[/math], значение [math]leave[u][/math] еще не определено, так что, когда это будет сделано, будет выполняться неравенство [math]leave[u] \gt leave[v][/math]. Следовательно, для любого ребра [math](u, v)[/math] ориентированного ациклического графа выполняется условие [math]leave[u] \gt leave[v][/math]. [math]\triangleleft[/math] Таким образом, теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Из определения функции [math]\varphi[/math] мгновенно следует алгоритм топологической сортировки:

doTopSort(graph G) {
   fill(visited, false);
   time = 0;
   for (vertex v : v in graph G) {
      if (!visited[v]) {
         dfs(v);
      }
   }
}

dfs(vertex u) {
   visited[u] = true;
   for (vertex v : exists edge uv) {
      if (!visited[v]) {
         dfs(v);
      }
   }
   topSortAnswer[u] = n - time++;
}

Время работы этого алгоритма соответствует времени работы алгоритма поиска в глубину, то есть равно [math]O(V+E)[/math].

Источники

• Внятное доказательство на английском
• Теорема Брукса на вики