Топологические векторные пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>

Рассмотрим множество $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.

Определение:

Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны, то есть: непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0):

В ситуации $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, когда предел определен поточечно, если $\forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ рассмотреть $U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $X$ — линейное пространство, $A, B \subset X \Rightarrow A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}$(TODO: что бы значила тут стрелка вправо?), $\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}. Заметим, что $2 A \subset A + A$, но обратное не верно.

Определение:

$A$ закругленное/уравновешенное, если $\forall \lambda:

Определение:

$A$ поглощает $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda:

Определение:

$A$ радиальное, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.

Определение:

$A$ выпуклое, если $\forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A$, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.

TODO тут какая-то хурма про уравновешенность

Теорема (характеристика векторной топологии):

$\tau$ — векторная топология на $X$ тогда и только тогда, когда: $\tau$ инвариантна относительно сдвигов: $\tau + x_0 = \tau$ существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля $\forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В прямую сторону: Рассмотрим отображение $x \mapsto x + x_0$, то есть сдвиг на $x_0$. Это отображение взаимно однозначно, следовательно непрерывно, то есть если $G \in \tau$ (открыто), $G + x_0$ также открыто. То есть получили, что векторная топология инвариантна относительно сдвигов. Установим, что можно создать базу окрестностей нуля, составляющую из радиально-уравновешенных множеств. $\lambda x \to 0, x \to 0, \lambda \to 0$, то есть $\forall U(0) \exists \delta > 0, W(0):

[math]\triangleleft[/math]

Любое НП является частным случаем ТВП. Обратное в общем случае неверно, в связи с чем возникает вопрос о том, в каком случае ТВП можно нормировать. Ответ на него дает понятие функционала Минковского.

</wikitex>