Эта статья находится в разработке!
| Определение: |
| Пусть [math]X[/math] — линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math] — линейный функционал, если
[math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)[/math].
Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math].
[math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math] — ядро функционала. |
Заметим: [math] \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].
[math] \mathrm{Ker}\, f [/math] — линейное подмножество [math]X[/math]
TODO: возможно, нужно доказательство
Выясним геометрическую структуру ядра.
Напомним свойства отношения эквивалентности:
1. Рефлексивность: [math]x \sim x[/math]
2. Симметричность: [math]x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1[/math]
3. Транзитивность: [math]x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3[/math]
| Определение: |
| [math]X[/math] — линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math].
Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]:
[math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math]
[math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math] — классы смежности по [math]Y[/math].
[math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор множество по [math]Y[/math]. |
Операции над классами смежности:
[math] [x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y] [/math]
[math] \alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x] [/math]
Эти операции не зависят от представителя класса.
Фактор множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:
| Определение: |
| [math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math] — коразмерность [math]Y[/math].
[math] Y [/math] — гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math]. |
Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?
| Утверждение: |
[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X [/math] такие, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y[/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Замечание: для [math]n = 1[/math]: если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X [/math] такое, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \alpha e + y, ~ y \in Y[/math].
Доказательство [math]\implies[/math]:
[math]\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y [/math] — базис [math] X /_Y [/math].
[math] \forall \xi \in X /_Y [/math] единственным образом [math]\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].
Рассмотрим [math] \forall x \in X [/math], [math] [x] \in X /_Y [/math] и его представление [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].
Пусть [math] \xi_k = [ e_k ] [/math], то есть [math] [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] [/math]. Следовательно, по определению [math] [ x ] [/math], [math] x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k [/math].
[math] \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y [/math] — разложение [math] x [/math]. Единственность следует из единственности разложения по базису [math] [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k [/math].
Доказательство [math] \Longleftarrow [/math]:
TODO: упражнение |
| [math]\triangleleft[/math] |
