Неравенство Маркова

Неравенство Маркова

 Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её 
математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно 
явным образом.

Формулировка

 Пусть случайная величина [math]X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+[/math] определена на вероятностном пространстве ([math]\Omega[/math], [math]F[/math], [math]\mathbb R[/math]), и ее математическое ожидание [math] \mathbb E\mathrm |\xi|\lt \mathcal {1}[/math]. Тогда 
 [math]\forall ~x \gt  0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

Доказательство

  Возьмем для доказательства следующее понятие:
 Пусть [math] A[/math] - некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По 
 определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром [math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math], и ее математическое   ожидание равно вероятности успеха [math]
  p = \mathbb P\mathrm (A) [/math]. 
 Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому
 [math]|\xi|=|\xi|*I(|\xi|\lt x)+|\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge |\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge x*I(|\xi| \ge x)[/math].
 Тогда
 [math]\mathbb E\mathrm |\xi|\ge \mathbb E\mathrm(x*I(|\xi|\ge x)) = x*\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge x)[/math].
 Разделим обе части на [math]x[/math]:
 [math] \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

Примеры

 Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.
 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3/15 = 0.2[/math]

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического 
ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
 

Формулировка

 Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2\lt \mathcal 1[/math], то [math]\forall x \gt  0[/math] будет выполнено
 
 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{\xi^2}[/math]

Доказательство

 Для [math]x\gt 0[/math] неравенство  [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2[/math], поэтому
 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]

Следствие

 Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает что вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, 
 чем на три корня из дисперсии мала. 
 Рассмотрим такое утверждение:
 Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2 \lt  \mathcal {1}[/math], то [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {1}{9}[/math].
 
 Доказательство:
 Согласно неравенству Чебышева 
 [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\le 3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi)\ge \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi))^2}[/math]
 Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем [math]\frac {1}{9}[/math]