Верхняя оценка хроматического числа длиной нечётного цикла

Лемма (оценка хроматического числа длиной максимального нечётного цикла):

Пусть [math]G(V,E)[/math] - произвольный связный неориентированный граф и [math]\Delta(G)[/math] - длина максимального простого цикла графа [math]G[/math], [math]\Delta \ge 3[/math]. Тогда, [math]\chi(G) \le \Delta(G) + 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Опишем на графе следующий алгоритм раскраски: Из произвольной вершины [math]v[/math] запусти алгоритм поиска в глубину. Пусть [math]T[/math] — дерево обхода глубина графа [math]G[/math] с корнем в вершине [math]v[/math]. Произвольную вершину [math]u[/math], покрасим в цвет [math]dist(v,u)[/math] [math] \mod [/math] [math] (\Delta + 1)[/math], где [math]dist(v,u)[/math]— расстояние между вершинами [math]u,v[/math] в графe [math]T[/math]. Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф [math]G[/math] будет правильно раскрашен. Пусть [math]\exists a,b \in V: (ab) \in E \land color(a) = color(b)[/math], где [math]color(v)[/math] — цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа [math]p[/math], [math]dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)[/math] , [math]n \ge 0 [/math].Тогда, [math]dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)[/math].Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то [math] k \ge 1[/math]. То есть, вершины [math]a,b[/math] лежат на простом цикле длины по крайней мере [math]\Delta + 2[/math].Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем [math]\Delta[/math]. Таким образом в графе [math]G[/math] после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из [math]\Delta + 1[/math], то есть [math]G[/math] правильно раскрашен в [math]\Delta + 1[/math] цвет, следовательно [math]\chi(G) \le \Delta(G) + 1[/math]

[math]\triangleleft[/math]