Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список теорем

Теоремы без доказательств

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Достаточное условие экстремума

Теорема о неявном отображении

Лемма о похожести путей, близких к данному

Асимптотика интеграла [math]\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx, n\to+\infty[/math]

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n : E \rightarrow \mathbb{R} [/math] ([math] E [/math]— метрическое пространство). Пусть есть ряд [math] \sum c_n [/math] — сходящийся, такой, что [math] \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n [/math]. Тогда [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math] ( [math]X[/math] — метрическое пространство), равномерно сходится на [math] X [/math]. Пусть есть точка [math] x_0 \in X [/math], такая, что все [math] u_n [/math] непрерывны в [math] (\cdot) x_0 [/math]. Тогда [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math] непрерывна в точке [math] (\cdot) x_0 [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) [/math] — непрерывна в [math] (\cdot) x_0 [/math] 2) [math] S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S [/math] из 1) и 2) [math] \Rightarrow S(x) [/math] непрерывна в [math] (\cdot) x_0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C[a, b] [/math] ([math] C [/math] — множество непрерывных функций), [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. Тогда[math] * [/math] [math] \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx [/math] [math] * [/math] 1) [math] S(x) [/math] — непрерывно [math] \rightarrow [/math] интеграл имеет смысл. 2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx [/math] Сделаем предельный переход по [math]N[/math] [math] S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C'[a; b] [/math] ([math] C' [/math] — множество непрерывно дифференцируемых функций). 1) [math] \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) [/math] поточечно сходится на [math] [a; b] [/math] 2) [math] \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)[/math] равномерно сходится при [math] x \in [a, b] [/math] Тогда [math] S(x) \in C'[a, b] [/math] и [math] S'(x) = \varphi(x) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр). [math] \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} [/math] Тогда [math] S' = \Phi [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть [math] u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle [/math]. 1) [math] \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n [/math] 2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] Тогда 1) [math] \sum a_n [/math] — сходится 2) [math] \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] S_n = \sum_{n + 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} [/math] — имеет предел Критерий Больцано-Коши [math] \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} [/math] [math] \forall \epsilon \gt 0 \ \exists N \ \forall n \gt N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \lt \epsilon [/math] [math] |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| [/math] Берём [math] \forall \epsilon \gt 0 [/math] из р. сх-ти [math] \exists N \ \forall n \gt N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| \lt \frac{\epsilon}{3} [/math] [math] |S_n(x) - S(x)| \lt \frac{\epsilon}{6} [/math] [math] |S_{n + p}(x) - S(x)| \lt \frac{\epsilon}{6} [/math] При данном [math]n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} [/math] Выберем [math] x [/math] так близко к [math] x_0 [/math], чтобы [math] \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| \lt \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| \lt \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} [/math] [math]u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}[/math] — непр. равномерно в [math] (\cdot) x_0 [/math] [math] \sum \hat{u}_n(x) [/math] — р. сх. на [math] \langle a, b \rangle [/math] Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов [math] M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о перестановке пределов

([math] \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} [/math])

Теорема:

Пусть [math] f_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in X [/math] [или даже [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] X [/math]] 1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при [math] n \to + \infty, \ x \in X [/math] 2) [math] f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n [/math] Тогда 1) [math] \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} [/math] 2) [math] S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; [/math] Тогда: [math] f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) [/math] Условие 1: [math] \sum u_n [/math] р. сх. к сумме [math] S(x) [/math] [math] u_n = f_n - f_{n - 1} [/math] Условие 2: [math] lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} [/math] (при [math] n = 1[/math] проявить сообразительность) [math] A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k [/math] по теореме о почл. пр. переходе в суммах: 1) [math] \sum a_k [/math] — сх., т.е. [math]\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A[/math] 2) [math] \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) [/math] [math] S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: верна теорема [math] f(x, y) [/math]

[math] lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) [/math]

при условии 1: [math] \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) [/math] — и этот предел равномерный

[math]\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)[/math]

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math] 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. [math] \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть [math] \sum a_n [/math] сходится. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \sum a_n x^n [/math]. Тогда [math] \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1][/math] [math] \sum a_n b_n [/math] — по пр. Абеля равномерно сх-ся [math][0, 1][/math] [math]lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема:

Пусть [math] (A) [/math] [math] \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k [/math] — произвольный степенной ряд [math] [ a_k \in \mathbb{C}, z [/math] — комплексная переменная [math] ] [/math] или [math] [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] [/math] Возможны три случая: 1) [math] \forall z \in \mathbb{C} [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится 2) [math] (A) [/math] сходится только при [math] z = z_0 [/math] 3) [math] \exists R [/math] [math] 0 \lt R \lt + \infty [/math] при [math] |z - z_0| \lt R [/math] сходится [math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится [math] R [/math] — радиус сходимости

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Нужно доказать абсолютную сходимость [math] \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k [/math] Признак Коши: [math] \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} [/math] 1) [math] \overline{lim} = 0 [/math] при всех [math] z [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно 2) [math] \overline{lim} = + \infty [/math] при [math] z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 [/math], т.е. ряд сходится при [math] z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty [/math] расходится (слагаемые [math] \nrightarrow 0 [/math]) 3) [math] \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} [/math] — конечен [math] = \frac{1}{R} [/math] [math] |z - z_0| \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно [math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится (слагаемые [math] \nrightarrow 0 [/math])

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Теорема:

Пусть ряд [math] (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 \lt R \le + \infty [/math] — радиус сходимости. Тогда: 1) Для [math] r : 0 \lt r \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] равномерно сходится в круге [math] \overline{B(z_0, r)} [/math] 2) В круге [math] B(z_0, R) [/math] сумма ряда [math] (A) [/math] — непрерывна.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

(1) Признак Вейерштрасса [math] z \in \overline{B(z_0, r)} [/math] [math] |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n [/math] [math] \sum |a_n| \cdot r^n [/math] — сходится! т.к. [math] \sum a_n \cdot r^n [/math] — абс. сх. [math] (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) [/math] (2) фиксируем [math] z \in B(z_0, R) [/math]; Возьмём [math] r : |z - z_0| \lt r \lt R [/math] В [math] B(z_0, r) [/math] ряд р. сх. и слагаемые непр. [math] \Rightarrow [/math] сумма непрерывна.

[math]\triangleleft[/math]

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Лемма:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f [/math] — комплексно дифференцируема в точке [math] z_0 [/math]. Тогда, если [math] f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}(x + iy), \operatorname{Im}(x + iy) ) [/math], отображение [math] F [/math] дифференцируемо в [math] (x_0, y_0) [/math] и выполнены соотношения: [math] \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) [/math] [math] \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) [/math] (уравнения Коши-Римана)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательства нет

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Ряд [math] (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| \lt R [/math] Ряд [math] (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} [/math] Тогда: 1) радиус сх-ти [math] (A') = R [/math]. 2) при [math] |z - z_0| \lt R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^n [/math] [Тогда [math]f[/math] — дифф. при [math] |z - z_0| \lt r [/math] и [math] f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^n [/math] ]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R[/math] [math] \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} [/math] Проверим р. сх. [math] z \in B(r_0, r), r \lt R [/math]; [math] ]h : |h| \le r - |z - z_0| [/math] Тогда: [math] z + h \in \overline{B(r_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r [/math] [math] |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} [/math] [math] \sum h|a_n|r^{n - 1} [/math] — сх. [math]\Rightarrow[/math] по пр. Вейерштрасса р. сх. при [math] |h| \lt r - |z - z_0| [/math] [math] f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

1.1) [math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

1.2) [math] \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/[/math]

1.3) [math] (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ [/math]

1.4) [math] (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 [/math]

Теорема:

[math] \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} [/math] [math] \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = [/math] [math] = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

• Следствие: [math] \mathrm{exp}(z) \ne 0 [/math] — ни при каких [math] z [/math]

2.1) [math] \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} [/math]

2.2) [math] \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} [/math]

2.3) [math] \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

2.4) [math] \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} [/math]

2.5) Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

[math] \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) [/math]

[math] \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) [/math]

2.6) [math] |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 [/math]

[math] (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 [/math]

2.7) [math] \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}[/math]

[math] \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) [/math]

---

[math] x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} [/math]

[math] |x| \lt 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}[/math]

[math] \sum a_k \to [/math] Абель [math] \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S [/math]

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю [math]t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/math] (достаточно взять [math]|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)[/math], где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем: [math]f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0[/math]. Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим: [math]{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah[/math], то есть [math]Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций [math]f_i[/math] в точке [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: [math]f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m][/math]. Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть [math]f_i[/math] дифференцируемы в точке [math]x[/math]. Тогда для каждого [math]i\in[1:m][/math] существует линейная функция [math]A_i[/math] и функция [math]\alpha_i[/math], непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для [math]f[/math] выполняется равенство из определения производного оператора, где [math]A[/math] — оператор с координатными функциями [math]A_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие дифференцируемости.

Теорема:

Пусть [math] f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} [/math] — дифференцируемо в точке [math] a \in \operatorname{Int}(E) [/math] Тогда [math] \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) [/math] и матрица Якоби [math] f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) [/math] Замечание: Для [math] F : E \rightarrow \mathbb{R}^l [/math] — дифференцируемо в точке [math] a [/math]; [math]F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)[/math] [math] h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) [/math] [math] f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) [/math] — это св-во дифф-ти [math] \varphi_k [/math] в [math] \cdot (a) [/math] из опр. частн. производных [math] {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Достаточное условие дифференцируемости

Теорема:

Пусть [math] f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E [/math], в шаре [math]B(a, r) [/math] существуют все [math] f'x_k, k = {1..m} [/math] и все производные непрерывны в точке [math] a[/math]. Тогда [math] f [/math] дифференцируема в точке [math] a[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] m = 2 [/math] [math] f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* [/math] // [math] =^* [/math] — По теореме Лагранжа // [math] \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) [/math] // [math] t [/math] — средняя точка [math] =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = [/math][math] \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + [/math] [math] o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}[/math] [math][\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \[/math] где: [math] \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 [/math] по модулю; [math] [\ldots] \to 0 [/math] при [math] (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть [math] A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math] — линейный оператор. Тогда [math] \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = C_A || x || [/math], где [math] C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} [/math] ([math] a_{i, j} [/math] — элементы его матрицы)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] ||x|| = 0 [/math], т.е. если [math] x = 0 [/math], то тривиально [math] ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le [/math] (КБШ) [math] \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) [/math] [math] x^{(k)} \rightarrow x [/math] [math]||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 [/math] [math] Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax [/math] [math] ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Дифференцирование композиции

Теорема:

[math] F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I [/math] [math] G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = f(a) \in IntI [/math] [math] F [/math] — дифф. в [math] (\cdot) a, G [/math] — дифф. в [math] (\cdot) b [/math]; [math] H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) [/math] Тогда: [math] H [/math] — дифф. в [math] (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 [/math] [math] G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 [/math] [math] H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = [/math][math] G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = [/math] [math] = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} [/math] 1. [math] ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) [/math] 2. [math] \beta(k)||k|| [/math] [math] \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) [/math] [math] ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)[/math] [math] F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) [/math] [math] G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) [/math] [math] H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) [/math] [math] \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть [math] F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] \lambda: E \to \mathbb{R} [/math], [math] a \in \operatorname{Int} E [/math]; [math] F, G, \lambda [/math] — дифференцируемые в [math] a [/math]. тогда: 1) [math] (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) [/math] 2) [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle [/math] (здесь [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] — скалярное произведение [math] a [/math] и [math] b [/math])

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Введём координатную ф-ю [math] F = (f_1 \ldots f_l) [/math] [math] (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) [/math] — [math]i[/math]-ая коорд. док. ф-лы; [math] ]f_i \leftrightarrow f [/math] [math] \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) = (\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = [/math] [math] = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) [/math] [math] || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 [/math] [math] ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| [/math] — ограничена. [math] ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) [/math] 2. [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = [/math] лин. дифф. [math] \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) [/math][math] + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle [/math] Замечание: [math]m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l [/math] [math] \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

[math] F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F [/math] — непр. на [math] [a, b] [/math] и дифф. на [math] [a, b] [/math] Тогда: [math] \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) [/math] [math] \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 [/math] [math] \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\ \varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} [/math] [math] ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) [/math] // Если ехать быстро и криво [math] F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) [/math] [math] F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 [/math] при [math] \forall t [/math] [math] ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) [/math] // [math]||F'(x)|| = 1; (b - a) [/math] — длина дуги; [math] ||F(b) - F(a)|| [/math] — длина хорды

[math]\triangleleft[/math]

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

[math] f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f [/math] — дифф. в [math] (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 [/math] [math] l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} [/math] — направление Тогда [math] l [/math] указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а [math] -l [/math] самого быстрого убывания. Более того: [math] \forall [/math] напр. [math] u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le 1|\nabla f(a)| [/math] равенство достижимо для [math] u = \pm l [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| [/math] // [math] u = 1 [/math] // [math] \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

[math] f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE [/math] [math] \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} [/math] — опр. в окр. [math] (\cdot) a [/math], дифф. в окр. [math] (\cdot) a [/math] [math] \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} [/math] и [math] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} [/math] — непр. в [math] (\cdot) a [/math] Тогда эти две частные производные равны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) [/math] — задано при [math] |h|, |k| \lt r; V(a) = B(a, 2r) [/math] фикс. [math]k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) [/math] [math] \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = [/math][math] (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar h)hk [/math] [math] \bar h [/math] — средняя точка [math] \psi(f_2) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) [/math] [math] \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk [/math] [math] f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

• Замечание 1:

Аналогично: [math] i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j [/math]

[math] \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} [/math] — опр. в окр. [math] (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} [/math] — непр. в [math] (\cdot) a [/math]

• Замечание 2:

Если [math] f [/math] сущ. част. пр. [math]k[/math]-того порядка в окр. [math](\cdot)a[/math] и все они непр. в [math](\cdot)a[/math]

Для [math] \forall i_1 \ldots i_k [/math] — индексы [math] \in \{ 1 \ldots m \} [/math]

и [math] \forall j_1 \ldots \j_k [/math] — которые получаются из набора [math] i_1 \ldots i_k [/math] перестановка

Верно: [math] \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) [/math]

Полиномиальная формула

Лемма:

Если [math] r \in \mathbb{Z}_+ [/math], [math] a [/math] — мультииндекс, то [math] (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{\alpha: |\alpha| = r} \frac{r!}{\alpha!} a^{\alpha} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Индукция по [math]r[/math] [math] r = 1 [/math] [math] \alpha = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 [/math] [math] r = r + 1 [/math] [math] (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} ... a_m^{\alpha_{m}} = [/math] [math] = \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}+1} ... a_m^{\alpha_{m}} + \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} a_2^{\alpha_2 + 1} ... a_m^{\alpha_{m}} + [/math][math] \sum \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} ... a_{m-1}^{\alpha_{m - 1}} a_m^{\alpha_{m + 1}} = [/math] [math] = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + [/math] <ещё [math] m - \alpha [/math] суммы> = [math] \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} [/math]; [math] \beta_1 \ge 1 .. [/math] — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с [math] \beta_1 = 0 [/math] имеют нулевой индекс [math] (\alpha_1 + 1, \alpha_2 ... \alpha_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

• Замечание 1

[math] \sum_{(\alpha_1...\alpha_m); \alpha_i \ge 0; \alpha_1 + ... + \alpha_m = r} \frac{r!}{\alpha_1! ... \alpha_m!} \cdot a_1^{\alpha_{1}} ... a_m^{\alpha_{m}} = [/math][math] \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} [/math]

• Замечание 2

[math] m = 2; \alpha_1, \alpha_2 = r - \alpha_1 [/math]

[math] \sum_{\alpha_1 = 0}^{r} \frac{r!}{\alpha_1!(r - \alpha_1)!} \cdot a_1^{\alpha_1} a_2^{r - \alpha_1} = (a_1 + a_2)^r [/math]

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} [/math], [math] E [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^m [/math], [math] \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m [/math], так, что [math] \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E [/math]. Также [math] f \in C^r(E) [/math]. Пусть [math] \varphi (t) = f(a + th) [/math]. Тогда [math] \forall t_0 \in (-1; 1) [/math] верно [math] \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательства нет

[math]\triangleleft[/math]

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{R}_+ [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D [/math]. Тогда существует такое [math] \theta \in (0, 1) [/math], что [math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math].

Также можно обозначить точки через [math] x [/math] и [math] x + h [/math], тогда формула запишется в виде [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math].

Пеано:

Теорема:

Пусть [math] r \in \mathbb{N} [/math], [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(r)} (D), \ x \in D [/math]. Тогда [math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math].

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема:

[math](1) ||\ldots||_{m, n} [/math] — норма в пр-ве [math] \mathcal{L}_{m, n} [/math], то есть [math] 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} [/math] [math] 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| [/math] [math] 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| [/math] [math] (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math](1)[/math] 1. очевидно [math]||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} [/math] // для [math] x \in B(0, 1) [/math] 2. очевидно, св-ва [math] sup [/math] 3. [math] \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| [/math][math] = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C [/math] \\ [math] ||A|| + ||B|| = C [/math] [math](2)[/math] [math] |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C [/math] \\ [math] ||B|| \cdot ||A|| = C [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

[math] F : E [/math] откр. [math] \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; [/math] дифф. [math] E; a, b \in E [/math] [math] [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E [/math] Тогда: [math] \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F(c)||\cdot|b - a| [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) [/math] // [math] |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| [/math] [math] |F(b) - F(a)| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| [/math] [math] \mathbb{L}_{m, m} : \ Gh(m) = \{ A \in \mathbb{L}_{m, m} : \exists A^{-1} \} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема:

Пусть [math] A \in \Omega(\mathbb{R}^n) [/math] ([math] \Omega(\mathbb{R}^n) [/math] — множество обратимых линейных операторов в [math] \mathbb{R}^n [/math]), [math] B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || \lt \frac{1}{||A^{-1}||} [/math]. Тогда: 1) [math] B \in \Omega (\mathbb{R}^n) [/math]; 2) [math] ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} [/math]; 3) [math] ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| [/math].

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Теорема:

Пусть [math] F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n [/math], где [math] E [/math] открыто, дифференцируемо на [math] E [/math]. Тогда эквивалентны утверждения: [math] I) F \in C^{-1}(E) [/math] [math] II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} [/math] — непрерывна.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] I \Rightarrow II [/math] [math] ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); [/math] ? [math] F' [/math] непр. в [math] (\cdot) \overline{X} [/math] [math] \forall \epsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \forall x : |x - \overline{x}| \lt \delta [/math] [math] ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \lt \epsilon [/math] [math] ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} [/math] [math] \forall \epsilon \gt 0 [/math] выберем [math] \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \lt \frac{\epsilon}{\sqrt{min}}[/math]; при [math] |x - \overline{x}| \lt \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m [/math] [math] II \Rightarrow I [/math] [math] F' [/math] — непрерывна. [math] e_1 \ldots e_m [/math] [math] F'(x)e_i = [/math][math] \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; [/math][math] \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} [/math] Точно также: [math] |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Теорема:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in \operatorname{Int} D [/math] — точка экстремума [math] f, \ k \in [1 : n] [/math]. Тогда если [math] D_k f(x_0) [/math] существует, то [math] D_k f(x_0) = 0 [/math].

Теорема Ролля:

Теорема:

Пусть [math] f: K \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} [/math], дифференцируемо на [math] \operatorname{Int} K [/math], [math] f = \operatorname{const} [/math] на [math] \partial K [/math] (граница [math] K [/math]). Тогда существует [math] a \subset \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 [/math].

Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах

Утверждение:

1) Если квадратичная форма [math] h [/math] положительно определена, то существует такое [math] \gamma_h [/math], что [math] h(x) \ge \gamma_h |x|^2 [/math] для всех [math] x \in \mathbb{R}^m [/math] 2) Пусть [math] p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ [/math] — норма. Тогда [math] \exists c_1, c_2 \gt 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| [/math].

[math]\triangleright[/math]

1) [math] \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) [/math] (Сфера [math] \{ x : |x| = 1 \} [/math] — компакт по т. Вейерштрасса [math] \exists min [/math]) [math] x = 0 : \text{ok} [/math] [math] x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 [/math] [math] h(tx) = t^2 h(x) [/math] 2) [math] c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); [/math] — по т. Вейерштрасса (т.к. [math]p(x)[/math] — непр.) [math] x = 0 : \text{triv} [/math] [math] x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} [/math] [math] |p(y) - p(x)| \le p(x - y) = [/math] разложим по базису [math] p( \sum_{k = 1}^m |y_k - x_k|l_k ) \le [/math] [math] \le \sum |y_k - x_k|p(l_k) \le [/math] КБШ [math] \sqrt{ \sum|x_k - y_k|^2 } \sqrt{\sum p(l_k)^2} = |x - y| \sqrt{\sum p(l_k)^2} [/math] [math] \forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{\sum p(l_k)^2}} [/math] [math] \forall y : |x - y| \lt \delta [/math] верно [math] |p(x) - p(y)| \lt \epsilon [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Достаточное условие экстремума

Теорема:

Пусть [math] D [/math] открыто в [math] \mathbb{R}^n [/math], [math] f \in C^{(2)}(D), \ x_0 \in D [/math] — стационарная точка [math] f [/math] (то есть [math] \nabla f(x_0) = \mathbb{O}_n [/math]). Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] положительно определённая, то [math] x_0 [/math] — точка строгого минимума [math] f [/math]. 2) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] отрицательно определённая, то [math] x_0 [/math] — точка строгого максимума [math] f [/math]. 3) Если форма [math] d^2 f(x_0) [/math] неопределённая, то [math] x_0 [/math] — не точка экстремума [math] f [/math].

Лемма о почти локальной инъективности

Лемма:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math] — диффеоморфизм, [math] x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 [/math]. Тогда [math] \exists c, \delta \gt 0 \ \forall h: |h| \lt \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] F [/math] — линейное. [math] \exists (F'(x_0))^{-1} [/math] [math] F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F [/math] [math] |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| [/math] [math] |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} [/math] 2) [math] F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} [/math] [math] |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| [/math][math] = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| [/math] // [math] \ge^*: \exists \delta \gt 0: [/math] при [math] |h| \lt \delta: |\alpha(h)| \lt \frac{c}{2} [/math] [math]F: \forall x \in 0; det(F'(x)) \ne 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о сохранении области

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто — диффеоморфизм в [math] O [/math], [math] \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 [/math]. Тогда [math] F(O) [/math] открыто. Замечание 1. Если [math] O [/math] — лин. связное и [math] F [/math] — непр. [math] \Rightarrow F(O) [/math] — лин. связное 2. Непрерывность [math] F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) [/math] — откр. [в [math] O [/math]]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] x_0 \in O; y_0 = F(x_0) [/math] — внутрення точка [math] F(O) [/math]? [math] \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| [/math] при [math] |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 [/math] [math] dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c); r = \frac{1}{2} dist() [/math] Утверждение: [math] B(y_0, r) \subset F(O) [/math] Т.е.: [math] \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y [/math] [math] \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1) + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; [/math] [math] x \in B(x_0, \delta) [/math] [math] min \varphi [/math] — внутри [math] B(x_0, \delta) [/math] [math] \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 \lt r^2 [/math] — на сфере [math] S(x_0, \delta) [/math] [math] \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ \lt r })^2 \ge r^2 [/math] [math] \varphi [/math] — имеет [math] (\cdot) min [/math] внутри шара [math] B(x_0, \delta) [/math] по т. Вейерштрасса [math] \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} [/math] [math] det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow [/math] в точке минимум [math] \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о диффеоморфизме

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) [/math], [math] F [/math] — обратима и невырождена, [math] \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 [/math]. Тогда: 1) [math] F^{-1} \in C^r [/math] 2) [math] y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] r = 1 [/math] [math] S := F^{-1}; F(O) = O' [/math] — откр.; [math] S : O' \to O [/math]; [math] T : X \to Y; T [/math] — непр. [math] \Leftrightarrow \forall u \subset Y : T^{-1} [/math] — откр. [math] y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) [/math] [math] y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(|x - x_0|) [/math] [math] S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) [/math] [[math] T [/math] — невыр. в [math] x_0; \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| \gt c|x - x_0| [/math]] Возьмём [math] c, \delta [/math] — из леммы; [math] T := F'(x_0) [/math] [math] y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| [/math] [math] S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \frac{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}{? o(y - y_0)} [/math] Можно считать, что [math] y [/math] близко к [math] y_0 [/math], так что [math] |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| \lt \delta [/math] [math] | \ \Gamma^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |\Gamma^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le [/math][math] \| \Gamma^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| \Gamma^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| [/math] [math]// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 [/math] [math] y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) [/math] 2) [math] r [/math] — любое. (без доказательства)

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о локальной обратимости

Теорема:

Пусть [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто; [math] F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F^{-1}(x_0) \ne 0 [/math] Тогда [math] \exists U(x_0): \ F |_U [/math] — диффеоморфизм ([math] F |_U [/math] или [math] F|U [/math] — сужение отображения [math] F [/math] на множество [math] U [/math]).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Нужно проверить лишь: [math] \exists U(x_0) : F|_U [/math] — обратима [так. как можно считать что [math] \det F'(x) \ne 0 [/math] на [math] U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) [/math] — откр. [math] F^{-1} [/math] — откр. на мн-ве и дифф.] [math] |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| [/math] [math] \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U := B(x_0, r) \lt 0 [/math] [math] \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| \lt \frac{c}{4} \end{matrix} [/math] [math] x, y \in B(x_0, r); y = x + h [/math] [math] F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h [/math] [math] |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge [/math] [math] \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| = \frac{c}{4}|h| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

• Замечание

[math] \det F' \ne 0 [/math] — нужно для дифф.

[math] F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} [/math] — не дифф. в нуле

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n [/math], где [math] E [/math] открыто, [math] F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 [/math]. Пусть известно, что [math] F'_y (a, b) [/math] невырождено ([math] \det F'_y (a, b) \neq 0 [/math]). Тогда: 1) существуют открытые [math] P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q [/math], и существует единственное [math] \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r [/math], что [math] \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 [/math] 2) [math] \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) [/math]

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Теорема:

Пусть [math] M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k \lt m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty [/math] (гладкое многообразие), [math] p \in M [/math]. Эквивалентные утверждения: 1) [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие 2) [math] \exists \tilde{U}(p) [/math] и существуют функции [math] f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} [/math] класса [math] C^r [/math], для которых выполняются условия: 2.1) [math] x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 [/math] 2.2) [math] \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} [/math] — линейно независимые

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] 1 \Rightarrow 2 [/math] [math] \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m [/math] — параметризация [math] C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) [/math] — матрица [math] m \times k [/math] [math] Rg \Phi'(t_0) = k [/math] — реализуется на первых [math] k [/math] степенях [math] \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) [/math] [math] 2 \Rightarrow 1 [/math] Очевидно: [math] (L \circ \Phi)'(p) [/math] — невырожденно. [math] \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) [/math] [math] \exists W(t_0) : L \circ \Phi [/math] — диффеоморфизм на [math] W(t_0) [/math] [math] V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L [/math] взаимно однозначное отображение [math] \Phi(W) [/math] на [math] V [/math] [math] \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) [/math] [math] \Phi(W) [/math] — открыто в [math] M \Rightarrow \Phi(W) [/math] — реал. как [math] G \cap M, \ G [/math] — откр. в [math] \mathbb{R}^m [/math] [math] G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 [/math] [math] \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} [/math] [math] \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие относительного локального экстремума

Теорема:

Пусть [math] f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} [/math], где [math] E [/math] открыто, [math] \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n [/math]. Пусть [math] f [/math] имеет в точке [math] a [/math] локальный относительный экстремум. Тогда [math] \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n [/math], что [math] \begin{cases} f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\ \Phi(a) = \mathbb{O}_n \end{cases} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть ранг реализуется на столбцах [math] x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} [/math]. Переобозначим [math] y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} [/math]. По теореме о неявном отображении: [math] \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 [/math] [math] x \mapsto (x, \Psi(x)) [/math] — гл. параметризация [math] g(x) = f(x, \Psi(x)) [/math]; Точка [math] a_x [/math] — лок. экстремум [math] g' [/math]. [math] f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 [/math] — необходимое усл. экстремума в матр. форме. [math] \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 [/math] [math] \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 [/math] [math] (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 [/math] [math] \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} [/math] При таком [math] \lambda : [/math] [math] \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Теорема:

Пусть [math] A \in \mathcal{L}_{m, n} [/math]. Тогда [math] || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda [/math] — собственное число [math] A^T \cdot A \} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

1) Линейность по векторному полю: [math] I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) [/math].

[math] \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma' \rangle dt [/math] — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

[math] \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] [/math]

[math] \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m [/math]

[math] I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) [/math].

[math] \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b [/math]

3) Замена параметра: если [math] \varphi: [p; q] \to [a; b] [/math] — гладкая, [math] \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b [/math], [math] \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m [/math], [math] \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m [/math] [math] s \mapsto \gamma(\varphi(s)) [/math]

Тогда [math] I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) [/math].

[math] I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} [/math][math] \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma'(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds [/math]

4) Пусть [math] \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 [/math] — произведение путей:

[math] \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases} \gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\ \gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c] \end{cases} [/math]

то [math] I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) [/math].

[math] \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma't \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} [/math] \\ заменить параметр [math] s = t - b + c; s \in [c, d] [/math]

[math] \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- [/math] — противоположный путь (в обратную сторону)

[math] \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] [/math]

[math] I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) [/math]

[math] \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma'(s) \rangle ds [/math]

5) Оценка интеграла:

Теорема:

[math] | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) [/math], где [math] L(\gamma) [/math] — длина пути. [math] \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le [/math] по КБШ [math] \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt \le |V(\gamma(t))| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma'(t) dt| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Теорема:

Пусть [math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] потенциально, [math] f [/math] — потенциал [math] V [/math], [math] \gamma[a;b] \to 0 [/math] — кусочно гладкий. Тогда [math] \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math] \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b [/math] — доказано для гладкого пути \\ [math] V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' [/math] [math] = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m [/math] \\ [math] \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m [/math] 2) [math] a = t_0 \lt t_1 \lt \ldots \lt t_n = b [/math] [math] \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} [/math] — гладкий [math] \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = [/math][math] \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Теорема:

Если [math] V : O \to \mathbb{R}^m [/math] тогда эквиваленты следующие утверждение: 1) V потенциально в [math] O [/math] 2) Интеграл [math] V [/math] не зависит от пути (в обл. [math] O [/math]) 3) [math] \forall \gamma : [a, b] \to 0, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] 1 \Rightarrow 2 [/math] — формула Ньютона-Лейбница [math] 2 \Rightarrow 3 [/math] — очевидно [math] \gamma [/math] — петля; [math] \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) [/math] [math] \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i [/math] [math] 3 \Rightarrow 2 [/math] — очевидно [math] \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} [/math] [math] 2 \Rightarrow 1 [/math] Фиксируем точку [math] x_0 \in O; \ \forall x \in O [/math] Возьмём как-нибудь путь [math] \gamma_x [/math] из [math] x_0 [/math] в [math] x [/math] [math] f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f [/math] — потенциал? [math] \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 [/math] (аналогично [math] \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m [/math]) Выберем [math] B(x, r) \subset O [/math] [math] |h| \lt r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) [/math] [math] f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = [/math] [math]= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = [/math] теорема о среднем [math] = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] [/math] [math] \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Лемма:

Пусть [math] f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) [/math] — непрерывна, дифференцируема по [math] y [/math] при любых [math] x [/math] и [math] f'_y [/math] непрерывна на промежутке. Пусть [math] \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] [/math]. Тогда [math] \Phi(y) [/math] дифференцируема и [math] \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] [/math] зависит от [math] x, y [/math] [math] f'_y [/math] — непр. на [math] [a, b] \times [c, d] [/math] [math] \forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall x, y : |x - y| \lt \delta; \ |f_y(x) - f_y(y)| \lt \epsilon [/math] — равномерная сходимость [math] | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | \le | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le [/math] [math] \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) [/math] [math] \le^* : \forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall h : |h| \lt \delta [/math] [math] | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | \lt \epsilon (b - a) [/math] — определение предела.

[math]\triangleleft[/math]

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Теорема:

Пусть [math] V [/math] — гладкое потенциальное векторное поле в [math] O [/math]. Тогда [math] \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f [/math] — потенциал, обе части [math] (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} [/math] (— непр., т.к. [math] V [/math] — гладкое)

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

Пусть [math] O \subset \mathbb{R}^m [/math] — выпуклая, [math] V [/math] — векторное поле в [math] O [/math], гладкое и [math] \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} [/math]. Тогда [math] V [/math] — потенциальное.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

фиксируем [math] A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + (t - A); \ \gamma' = x - A [/math] [math] f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = [/math][math] \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt [/math] [math] \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{i = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = [/math] [math] = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - a))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (t) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о гусенице

Лемма:

Пусть [math] \gamma: [a, b] \to O [/math]. Тогда существуют дробление [math] a = t_0 \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b [/math] и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math], что [math] \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \forall c \in [a, b] [/math] — выберем шар [math] B(\gamma(c), V_c) \subset O [/math] [math] \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B; \ (\gamma(c), V_c) \} [/math] [math] \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B; \ (\gamma(c), V_c) \} [/math] Пусть [math] \tilde \alpha_c \lt \alpha_c \lt c \lt \beta_c \lt \tilde \beta_c [/math] [math] \forall c [/math] мы имеем [math] (\alpha_c, \beta_c) [/math] — открытое покрытие [math] [a, b] [/math] и [math] \exists [/math] конечное подпокрытие Можно считать [math] \forall i \ \exists S_i [/math] — которое лежит в [math] (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) [/math], но не лежит в [math] (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j [/math] [math] S_1 \subset S_2 ... \subset S_n [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма:

Пусть [math] \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m [/math] — кусочно-гладкие, похожие, [math] V [/math] — локально-потенциальное векторное поле, [math] \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) [/math]. Тогда [math] \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Cуществуют дробление [math] a = t_0 \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b [/math] и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math] [math] \forall k [/math] в [math] B_k [/math] существует потенциал векторного поля [math] V [/math] [math] \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k [/math] Пусть [math] f_1 [/math] — потенциал [math] V [/math] в [math] B_1 [/math], в [math] B_2 [/math] выберем потенциал [math] f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) [/math] в [math] B_3 [/math] выберем [math] f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) [/math] и т.д. [math] \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) [/math] [math] \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) [/math]

[math]\triangleleft[/math]

• Замечание

[math] \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) [/math]

Лемма о похожести путей, близких к данному

Лемма:

Пусть [math] \gamma: [a, b] \to O [/math]. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] [math] \exists \delta \gt 0 [/math] такое, что если пути [math] \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O [/math] — «близкие» к [math] \gamma [/math], то есть [math] | \gamma(t) - \gamma_1(t) | \lt \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | \lt \delta [/math], то [math] \gamma_1, \gamma_2 [/math] похожи.

Равенство интегралов по гомотопным путям

Теорема:

Пусть [math] V [/math] — локально-потенциальное векторное поле в [math] O [/math], [math] \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O [/math] — связанно гомотопны. Тогда [math] \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i [/math]. Тоже верно для петельной гомотопии.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \Gamma [/math] — гомотопна. [math] \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] [/math] [math] \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i [/math]. Проверим, что [math] \Phi [/math] — локальная постоянная [math] (\forall u_0 \ \exists W(u_0) [/math] при [math] u \in W(u_0) : \Phi [/math] — постоянна) [math] \Gamma : \overline{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to 0 [/math] — равномерно непрерывна. [math] \forall \delta \gt 0 \ \exists \zeta \gt 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ [/math][math]\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| \lt \zeta \\ |u_1 - u_2| \lt \zeta \end{matrix} [/math] верно [math] |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| \lt \frac{\delta}{2} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Теорема:

Пусть [math] O [/math] — односвязная область, [math] V [/math] — локально потенциальное поле в [math] O [/math]. Тогда [math] V [/math] потенциально.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] V [/math] — потенциально [math] \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 [/math] По предыдущей теореме: [math] \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i [/math] — гомотопия пост. пути [math] \gamma_1 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: если [math] O [/math] — односвязная, [math] V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} [/math], то [math] V [/math] — потенциально.

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Теорема:

[math] \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\pi^{4/3}} \cos^n x dx [/math]

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Лемма:

Пусть [math] f(x) [/math] непрерывна, [math] f(x) \gt 0 [/math] на [math] (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) [/math] строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда [math] \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M [/math] [math] \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx [/math] // последняя экспонента с большим показателем

[math]\triangleleft[/math]

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема:

Пусть [math] f \gt 0 [/math] на [math] (a; b) [/math], непрерывна, [math] \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q \gt -1, \ L \gt 0, \ \varphi [/math] непрерывна, строго убывает, [math] \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p \gt 0 [/math]. Тогда [math] \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(x)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) [/math].

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Теорема:

Пусть [math] f [/math] непрерывна на [math] [a; b] [/math]. Тогда существует многочлен [math] P_n(x), \ n = 1, 2 ... [/math], что [math] \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) [/math].

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Теорема:

[math] \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} [/math]

Определения и факты

Равномерно сходящийся ряд

Определение:

Последовательность функций [math] f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) [/math] называется равномерно сходящейся на множестве [math] X [/math], если существует предельная функция [math] f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) [/math] и для любого числа [math] \varepsilon \gt 0 [/math] можно указать число [math] N = N(\varepsilon) [/math] такое, что [math] |f(x) - f_n(x) | \lt \varepsilon [/math] при [math] n \gt N [/math] и [math] x \in X [/math]. В этом случае пишут [math] f_n(x) \rightrightarrows f(x) [/math]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [math] X [/math], если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

см. Теорема о круге сходимости степенного ряда пункт 3.

Формула Адамара

Определение:

Число [math] R [/math] — радиус сходимости. [math] R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} [/math]

Комплексная производная

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} [/math]. Тогда [math] f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} [/math].

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l [/math]. ([math] \mathbb{O}_l [/math] — [math] l [/math]-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math] ([math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] ([math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]), что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

Определение:

Оператор [math] A [/math] из определения производной называется производным оператором отображения [math] f [/math] в точке [math] x [/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Частные производные

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] [/math]. Производная [math] \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) [/math] (где [math] e^k [/math] — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции [math] f [/math] по [math] k [/math]-ой переменной в точке [math] x [/math] и обозначается ещё [math] D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) [/math].

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math], [math] x \in Int(D) [/math], [math] h \in \mathbb{R}^n [/math]. Предел [math] \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} [/math] называется производной функции [math] f [/math] по вектору [math] h [/math] в точке [math] x [/math] и обозначается [math] D_h f(x) [/math] или [math] \frac{\partial f}{\partial h}(x) [/math]. Если [math] |h| = 1 [/math], то вектор [math] h [/math] называется направлением, а производная по нему — производной по направлению [math] h [/math].

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что [math] r - a \in \mathbb{R} [/math] и частные производные порядка [math] r - 1 [/math] уже определены. Пусть [math] i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D [/math]. Частная производная функции [math] f [/math] порядка [math] r [/math] по переменным с номерами [math] i_1, ..., i_r [/math] в точке [math] x [/math] определяется равенством [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) [/math], если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, [math] r [/math] раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве [math] D [/math] пространства [math] \mathbb{R}^n [/math], обозначается [math] C^{(r)} (D) [/math] или [math] C^r (D) [/math]. По определению [math] C^0 (D) = C(D) [/math] — класс непрерывных на [math] D [/math] функций. Через [math] C^{(\infty)} (D) [/math] обозначается класс бесконечно дифференцируемых на [math] D [/math] функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор [math] k \in \mathbb{Z}_+^n [/math] называют мультииндексом. Величину [math] (k) = k_1 + ... + k_n [/math] называют высотой мультииндекса [math] k [/math].

Если [math] k = (k_1, .., k_n) [/math] — мультииндекс, [math] (k) \leqslant r [/math], то частную производную порядка [math] k [/math] (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса [math] C^{(r)} [/math] обозначают [math] D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} [/math]. Также полагают [math] k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! [/math], [math] h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} [/math], где [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

[math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math]

С остатком в интегральной форме:

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt [/math]

Формула в дифференциалах:

[math] f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) [/math]

Формула в координатах:

[math] f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) [/math]

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) [/math]. Тогда: [math] df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m [/math] [math] d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... [/math] [math] d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... [/math] [math] d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} [/math], где [math] c_{i_1, ..., i_r} [/math] — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность ([math] p(\lambda x) = |\lambda| p(x) [/math], где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника ([math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)[/math]). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть [math] X, Y [/math] — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), [math] A: X \to Y [/math] — линейный оператор. Нормой оператора [math] A [/math] называется величина [math] || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y [/math].

Локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D [/math]. Если существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math] выполняется неравенство: [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой максимума функции [math] f [/math]; [math] f(x) \lt f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой строгого максимума функции [math] f [/math]. Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если [math] x_0 [/math] является точкой (строгого) максимума или минимума функции [math] f [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой (строгого) экстремума [math] f [/math].

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Определение:

Пусть [math] K [/math] — квадратичная форма от [math] n [/math] переменных. 1) Если [math] K(h) \gt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно определённой. 2) Если [math] K(h) \lt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется отрицательно определённой. 3) Если форма [math] K [/math] принимает значения разных знаков, то [math] K [/math] называется неопределённой. 4) Если [math] K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n [/math] и существует такое [math] h \neq \mathbb{O}_n [/math], что [math] K(h) = 0 [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно (отрицательно) полуопределённой.

Диффеоморфизм

Определение:

Отображение [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в [math] O [/math], обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Теорема:

Дана система из [math] n [/math] уравнений для функций от [math] m + n [/math] переменных. Функции дифференцируемы [math] n [/math] раз. [math] \begin{cases} f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \end{cases} [/math] [math] \frac{\partial F}{\partial y} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\ \ & ... & \ \\ \frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix} [/math] Пусть [math] (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) [/math] удовлетворяет системе, [math] \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 [/math]. Тогда существует [math] u(a) \subset \mathbb{R}^m [/math] и существует единственное отображение [math] \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n [/math] такие, что [math] \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) [/math] удовлетворяет системе.

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m

Определение:

[math] M \subset \mathbb{R}^m [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие, если [math] \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M [/math]. [math] \Phi [/math] называется параметризацией. Если [math] \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k [/math] ([math] \operatorname{rg} [/math] — ранг), то [math] M [/math] — простое гладкое (класса [math] C^r [/math]) [math] k [/math]-мерное многообразие.

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} [/math] ([math] \Phi(x) = \mathbb{O}_n [/math] — уравнение связи). Тогда [math] p \in H_{\Phi} [/math] — локальный относительный (условный) экстремум [math] f [/math] при условии [math] \Phi = \mathbb{O}_n [/math]. Это значит, что [math] p [/math] — локальный экстремум [math] f | _{H_\Phi} [/math]. Если [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) \gt f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий), если [math] f(x) \geqslant f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.

Или в стиле определения обычного экстремума:

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D [/math]. Если [math] \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m [/math] и существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math], удовлетворяющего условию [math] \Phi(x) = \mathbb{O}_m [/math], выполняется равенство [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой условного или относительного максимума функции [math] f [/math] при условии связи [math] \Phi (x) = \mathbb{O}_m [/math].

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Утверждение:

Пусть для точки [math] a [/math] выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть [math] h = (h_1, ..., h_{m+n}) [/math] — решение уравнения [math] \Phi'(a) h = 0 [/math]. Рассмотрим квадратичную форму [math] Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a [/math], где [math] G [/math] — функция Лагранжа ([math] G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) [/math], [math] \varphi_i [/math] — условия), где [math] \lambda_1, ... \lambda_n [/math] взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если [math] Q [/math]: 1) положительно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного минимума; 2) отрицательно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного максимума; 3) незнакоопределена, то [math] a [/math] — не точка локального относительного экстремума; 4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли [math] a [/math] точкой локального относительного экстремума.

Кусочно-гладкий путь

Определение:

Путь — [math] \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M [/math], непрерывное [math] L = \varphi([a; b]) [/math] — носитель пути («кривая») [math] \varphi [/math] — кусочно-гладкий путь, если существует дробление [math] t_0 = a \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b [/math] такое, что [math] \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} [/math] — гладкий путь.

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Определение:

[math] V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] E [/math] открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля [math] V [/math] — гладкое векторное поле, если [math] V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) [/math] Пусть [math] V [/math] — непрерывное векторное поле в [math] E [/math], [math] \gamma [/math] — кусочно-гладкий путь в [math] E [/math]: [math] \gamma: [a; b] \to E [/math]. Тогда интеграл векторного поля по пути [math] \gamma [/math] равен [math] I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) [/math], где [math] x_i = \gamma_i(t) [/math].

Потенциальное векторное поле

Определение:

Пусть [math] O \subset \mathbb{R}^m [/math] ([math] O [/math] — область). [math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] потенциально в [math] O [/math], если существует потенциал [math] F: O \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] F [/math] дифференцируемо в [math] O [/math], такой, что [math] \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] [/math].

Потенциал векторного поля

Определение:

[math] F [/math] из предыдущего определения — потенциал.

Похожие пути

Определение:

Пути [math] \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m [/math] — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).

Локально-потенциальное векторное поле

Определение:

[math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] — локально-потенциальное, если [math] \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O [/math] такое, что [math] V [/math] — потенциальное в [math] U(x) [/math].

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Определение:

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Определение:

Пусть [math] \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O [/math]. [math] \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O [/math] — гомотопия этих путей, если она непрерывна и [math] \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) [/math]. Связанная гомотопия — [math] \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) [/math]. Петельная гомотопия — [math] \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) [/math].

Односвязная область

Определение:

Область [math] O [/math] — односвязная, если любая петля в [math] O [/math] стягиваема: [math] \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 [/math] — петельно гомотопные пути, [math] \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) [/math].