Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла

Определение:

Простой (вершинно-простой) цикл в графе – цикл, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.

Для удобства будем считать, что цикл задаётся [math]n[/math] вершинами и [math]n[/math] рёбрами: [math]V_0E_1V_1E_2 ... V_{n-1}E_n[/math], – причём ребро [math]E_i[/math] соединяет вершины [math]V_{i-1}[/math] и [math]V_{i % n}[/math].

Определение:

Длина цикла – количество вершин, входящих в последовательность, задающую этот цикл.

Теорема:

Если в графе существует цикл, то в нём существует простой цикл.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмём любой из существующих циклов [math]V_0E_1V_1E_2V_2 ... V_{n-1}E_n[/math]. Для вершины [math]V_i[/math] найдём момент её следующего вхождения в цикл – [math]V_j[/math] – и, если такой нашёлся, удалим отрезки цикла от [math]V_0[/math] до [math]E_i[/math], включительно, и от [math]E_{j+1}[/math] до [math]E_n[/math], включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется циклом, и в нём вершина [math]V_i[/math] будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины [math]V_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового цикла, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся цикл будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым. Альтернативное: Выберем из всех циклов в графе цикл наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]V_i[/math] и [math]V_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного цикла отрезки от [math]V_0[/math] до [math]E_i[/math], включительно, и от [math]E_{j+1}[/math] до [math]E_n[/math], включительно. Конечная последовательность также будет циклом и станет короче исходной. Значит, исходный цикл не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный цикл – простой.

[math]\triangleleft[/math]