Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Определение:

Простой (вершинно-простой) путь между двумя вершинами графа – путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза.

Определение:

Длина пути – количество вершин, входящих в последовательность, задающую этот путь.

Теорема:

Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмём любой из существующих путей [math]V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n[/math]. Для вершины [math]V_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь – [math]V_j[/math] – и, если [math]i \neq j[/math], удалим отрезок пути от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]V_0[/math] до [math]V_n[/math], и в нём вершина [math]V_i[/math] будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины [math]V_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым. Альтернативное: Выберем из всех путей в графе путь наименьшей длины. Пусть он не простой; тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]V_i[/math] и [math]V_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём и станет короче исходной. Значит, исходный путь не был кратчайшим; предположение неверно, выбранный путь – простой.

[math]\triangleleft[/math]