| Определение: |
Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] - линейные пространства над полем [math]F[/math]. Отображение [math]\mathcal{A}:X \mapsto Y[/math] называется линейным оператором, если [math]\forall x_1,x_2 \in X[/math], [math]\forall \lambda \in F[/math]:
- [math]\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)[/math]
- [math]\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)[/math]
|
| Определение: |
| Линейный оператор [math]\mathcal{A}:X \mapsto X[/math] называется автоморфизмом (или гомоморфизмом). |
| N.B.: |
| [math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x[/math] |
| Определение: |
| [math]\mathcal{A},\mathcal{B}:X \mapsto Y[/math], [math]\mathcal{A}=\mathcal{B}[/math], если [math]\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x[/math] |
| Определение: |
| [math]O[/math] называется нулевым оператором, если [math]\forall x, y \in X:Ox=Oy[/math] |
Примеры
Тождественный оператор
[math]I:X \mapsto X[/math] по формуле [math]Ix=x[/math]
Линейный оператор проектирования
[math]X=L_1 + L_2[/math]
[math]P_{L_1}^{||L_2}:X \mapsto L_1[/math]
[math]P_{L_2}^{||L1}:X \mapsto L_2[/math]
NB: [math]P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \mapsto X[/math] ([math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] - п.п. [math]X[/math])
Оператор дифференцирования
Пусть [math]X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}[/math]
по формуле [math](Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)[/math]
Интегральный оператор
Пусть [math]X = C(a,b); K(s,t); s \in (a,b); t \in (a,b)[/math]
[math](Bf)(s) = \int_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt[/math]
[math]B : C(a,b) \rightarrow C(a,b)[/math]
Матрица линейного оператора
Пусть [math]\mathcal{A}:X \mapsto Y[/math]
Пусть п.п. [math]X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n[/math]
Пусть п.п. [math]Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m[/math]
[math]\underset{1\leq k\leq n}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \Rightarrow A=||\alpha_k^i||[/math], где [math]1\leq i\leq m, 1 \leq k \leq n[/math]
[math]
A=
\begin{pmatrix}
\alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\
\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\
\end{pmatrix}
[/math]
| N.B.: |
| Обратите внимание, что [math]\mathcal{A}[/math] означает оператор, а [math]A[/math] — матрицу этого оператора. |
Примеры
Нулевой оператор
[math]
O_{[m \times n]}=
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix}
[/math]
Оператор дифференцирования
[math]D:P_n \rightarrow P_{n-1}[/math]
[math]\{1,t,t^2,...,t^n\}[/math] - базис [math]P_n[/math]
[math]
D=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\
\end{pmatrix}
[/math]
