Унитарный и ортогональный операторы

Определение:

Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math]

Определение:

Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть [math]\Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert \ (\forall x \in E)[/math]

Определение:

Унитарным оператором называется оператор такой, что [math]\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}[/math] — эрмитовски сопряженный оператор[math])[/math], то есть [math]\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}[/math]

Теорема:

Все три определения эквивалентны

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Шаг 1. опр1 [math]\Rightarrow[/math] опр2 Пусть в первом определении [math]x=y: \left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert^2=\Vert x\Vert^2 \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert[/math] Шаг 2. опр2 [math]\Rightarrow[/math] опр1 Шаг 3. опр1 [math]\Rightarrow[/math] опр3 Шаг 4. опр3 [math]\Rightarrow[/math] опр1

[math]\triangleleft[/math]