Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром

Определения

Скалярный оператор(Оператор скалярного типа)

Определение:

[math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math] называется скалярным оператором(оператором скалярного типа), если у него существует полный набор собственных векторов. Или, что то же самое, если в пространстве [math]X[/math] можно указать базис, состоящий из собственных векторов оператора [math]\mathcal{A}[/math]

Простое собственное число

Определение:

Собственное число [math]\lambda_{0}[/math] линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется простым, если оно является простым корнем характеристического полинома. Т.е. [math]\mathcal{X}(\lambda)/(\lambda - \lambda_{0}) \ne 0 [/math]

Простой спектр

Определение:

Если все собственные числа оператора [math]\mathcal{A}[/math] простые, то оператор называется Л.О. с простым спектром NB Если оператор с простым спектром, то это оператор скалярного типа.

Теоремы унд Леммы

Теорема о матрице оператора в базисе из собственных векторов

Теорема:

В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица скалярного оператора имеет диагональный вид.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению, матрица [math]||\alpha_{i}^{k}||[/math] оператора [math]\mathcal{A}[/math] в базисе [math]\{x_{i}\}_{i=1}^{n}[/math] определяется из условия [math]Ax_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{i}^{k}x_{k}[/math]. Поскольку [math]Ax_{i} = \lambda_{i}x_{i}[/math], имеем [math]\alpha_{i}^{k} = \delta_{i}^{k}\lambda_{i}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о собственном подпространстве

Лемма:

Для [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math] [math]X_{\lambda_{i}} = ker(A - \lambda_{i}I)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\dim(X_{\lambda_{i}}) = 1[/math] [math]X_{\lambda_{i}} = \{x \in X : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x\} \Rightarrow (A-\lambda_{i}I)x = 0[/math] т.е. [math]X_{\lambda_{i}} = ker(A-\lambda_{i}I)[/math]

[math]\triangleleft[/math]