Бинарное отношение
Содержание
Определение
| Определение: |
| Бинарным отношением из множества в множество называется подмножество прямого произведения и и обозначается: . |
Часто используют инфиксную форму записи:
.
Если отношение определено на множестве , то возможно следующее определение:
| Определение: |
| Бинарным (или двуместным) отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества. |
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
Степень отношений
Пусть — отношение на множестве .
| Определение: |
| Степенью отношения на множестве называется его композиция с самим собой: . |
Свойства отношений
Для определены свойства:
- Рефлексивность: ;
- Антирефлексивность: ;
- Симметричность: ;
- Антисимметричность: ;
- Транзитивность: ;
- Связность: ;
- Ассимметричность: .
Виды отношений
Выделяются следующие виды отношений:
- квазипорядка — рефлексивное транзитивное;
- эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное;
- частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
- строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
- линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное;
- доминирования — антирефлексивное антисимметричное.
Примеры отношений
- Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
- Примеры нерефлексивных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
- Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
- Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
- Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
- Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
