Двойственный граф планарного графа

Эта статья находится в разработке!

Определение

Граф G′ называется двойственным к планарному графу G, если:

1. Вершины G′ соответствуют граням G
2. Между двумя вершинами в G′ есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в G имеют общее ребро

Граф (белые вершины) и двойственный ему (полосатые вершины).

«…Для данного плоского графа G его двойственный граф G′ строится следующим образом: поместим в каждую область G (включая внешнюю) по одной вершине графа G′ и, если две области имеют общее ребро x, соединим помещенные в них вершины ребром x′, пересекающим только x. В результате всегда получится плоский псевдограф. Ясно, что G′ имеет петлю тогда и только тогда, когда в G есть концевая вершина; G′ имеет кратные рёбра тогда и только тогда, когда две области графа G содержат по крайней мере два общих ребра. Таким образом, двусвязный плоский граф имеет всегда в качестве двойственного или граф или мультиграф, в то время как двойственный граф трёхсвязного плоского графа всегда представляет собой граф. Другими примерами двойственных графов являются платоновы графы: тетраэдр — самодвойственный граф, куб и октаэдр — двойственные, так же как додекаэдр и икосаэдр…».

Свойства

В верхнем двойственном графе есть вершина степени 6, а в нижнем — нет. Следовательно, они не изоморфны.

• Если G′ — двойственный к двусвязному графу G, то G — двойственный к G′
• У одного и того же графа может быть несколько двойственных, в зависимости от конкретной укладки (см. картинку)
• Мост переходит в петлю, а петля — в мост
• Мультиграф, двойственный к дереву — цветок