| Определение: |
Ковариация случайных величин (covariance): пусть [math]\eta,\xi[/math] — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:
- [math]Cov(\eta,\xi)=E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big)[/math].
|
Вычисление
В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как:
- [math]Cov(\eta, \xi) = E\big((\xi - E\xi)(\eta - E\eta)\big) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\xi E\eta - \xi E\eta) = [/math]
- [math]= E(\xi\eta) - E\xi E\eta - E\xi E\eta + E\xi E\eta = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]
Итого, [math]Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]
Свойства ковариации
- [math]Cov(\eta,\xi) = Cov(\xi,\eta)[/math].
- Пусть [math]\eta_1,\ldots, \eta_n[/math] случайные величины, а [math]\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j[/math] их две произвольные линейные комбинации. Тогда
- [math]Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)[/math].
- Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:
- [math]Cov(\eta,\eta) = E(\eta^2) - (E(\eta))^2 = D[\eta][/math].
- Если [math]\eta,\xi[/math] независимые случайные величины, то
- [math]Cov(\eta,\xi) = 0[/math].
Обратное, вообще говоря, неверно.
Неравенство Коши — Буняковского
| Утверждение: |
Ковариация есть скалярное произведение двух случайных величин |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Докажем три аксиомы скалярного произведения:
1. Линейность по первому аргументу:
[math] Cov( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = Cov( \mu_{1}\cdot\eta, \xi) + Cov( \mu_{2}\cdot\eta, \xi)[/math]
Раскроем ковариацию по определению:
[math]Cov( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}, \xi) = E( ( \mu_{1}\cdot\eta_{1} + \mu_{2}\cdot\eta_{2}) \cdot \xi ) - E( \mu_{1}\cdot\eta_{2} + \mu_{2}\cdot\eta_{2} )\cdot E\xi [/math]
В силу линейности математического ожидания:
[math]
E(\mu_{1}\cdot\eta_{1}\cdot\xi) +
E(\mu_{2}\cdot\eta_{2}\cdot\xi) -
E(\mu_{1}\cdot\eta_{1})\cdot E\xi -
E(\mu_{2}\cdot\eta_{2})\cdot E\xi =
\mu_{1}( E(\eta_{1}\cdot\xi) - E\eta_{1}\cdot E\xi ) +
\mu_{2}( E(\eta_{2}\cdot\xi) - E\eta_{2}\cdot E\xi ) =
\mu_{1} \cdot Cov(\eta_{1}, \xi) + \mu_{2} \cdot Cov(\eta_{2}, \xi)
[/math]
2. Симметричность:
[math] Cov(\eta, \xi) = E(\eta\cdot\xi) - E\eta \cdot E\xi = Cov(\xi, \eta)[/math]
3. Положительная определенность:
[math] Cov(\eta, \eta) = D(\eta) = E(\eta - E\eta)^2 [/math]
[math] Cov [/math] удовлетвотряет трем аксиомам, значит [math] Cov [/math] можно использовать в качестве скалярного произведения. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (неравенство Коши — Буняковского): |
Если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию [math]\langle \eta, \xi \rangle = Cov (\eta, \xi)[/math], то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии [math] ||\eta||^2 = D [ \eta ], [/math] и неравенство Коши-Буняковского запишется в виде:
- [math]Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi][/math].
|
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Для этого предположим, что [math] t [/math] — некоторое вещественное число, и рассмотрим очевидное неравенство
[math] E((V+tW)^2) \geqslant 0 [/math], где [math] V = \eta - E\eta [/math] и [math] W = \xi - E\xi [/math].
Используя линейность математического ожидания, мы получаем такое неравенство:
[math] E(V^2)+2tE(VW)+t^2E(W^2) \geqslant 0 [/math]
Обратим внимание, что левая часть является квадратным трехчленом, зависимым от [math] t [/math].
Мы имеем:
[math] E(V^2)=\sigma_\eta ^2[/math], [math] E(W^2)=\sigma_\xi ^2[/math] и [math] E(VW)=Cov(\eta,\xi); [/math]
Итак, наш квадратный трехчлен выглядит следующим образом:
[math]\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \geqslant 0[/math]
Для того, чтобы неравенство выполнялось для всех значений [math]t[/math], дискриминант должен быть неположительным, то есть:
[math] 4Cov^2(\eta,\xi)-4\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2 \leqslant 0[/math]
[math]Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2[/math]
[math]Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi][/math]
что и требовалось доказать. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Ссылки
