Алгоритм Хаффмана для n ичной системы счисления

Алгоритм

Для построения [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а [math]n[/math] букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.Сжатие алфавита, при котором [math]n[/math] букв заменяются на одну, приводит к уменьшению числа букв на [math]n-1[/math]; так как для построения [math]n[/math]-ичного кода, очевидно, требуется, чтобы последовательность сжатий в конце концов привела нас к алфавиту из [math]n[/math] букв (сопоставляемых [math]n[/math] сигналам кода), то необходимо, чтобы число [math]m[/math] букв первоначального алфавита было представимо в виде [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,[math]k \in \mathbb{Z}[/math]. Этого, однако, всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту еще несколько фиктивных букв, вероятности которых считаются равными нулю. После этого построение [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана проводится уже точно так же, как и в случае двоичного кода.

Пример

Для примера возьмём слово "кириллица".Возьмем [math]n=3[/math] (троичная система счисления).Алфавит будет [math]A= \{[/math] к, и, р, л, ц, а [math]\} [/math], а набор весов [math]W=\{1, 3, 1, 2, 1, 1\}[/math]. Будем действовать согласно алгоритму выше;у нас число букв первоначального алфавита [math]m[/math] равно 6.Если подставить значения [math]n[/math] и [math]m[/math] в формулу для оптимального кодирования [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,то получится что [math]k[/math] не является целым.Но если увеличить число [math]m[/math] на 1 (добавлением фиктивной буквы "я" с весом 0) , то можно подобрать целое [math]k[/math] равное 2. Таким образом можно записать:

Узел	к	и	р	л	ц	а	я
Вес	1	3	1	2	1	1	0

По алгоритму возьмем три символа с наименьшей частотой — это я,к,р. Сформируем из них новый узел якр весом 2 и добавим его к списку узлов:

Узел	якр	и	л	ц	а
Вес	2	3	2	1	1

Затем объединим в один узел узлы л,ц,а:

Узел	якр	и	лца
Вес	2	3	4

И, наконец, объединяем три узла якр,и,лца. Итак, мы получили дерево Хаффмана и соответствующую ему таблицу кодов:

Символ	к	и	р	л	ц	а	я
Код	+-	-	+0	00	0+	0-	++

Таким образом, закодированное слово "кириллица" будет выглядеть как "+--+0-0000-0+0-". Длина закодированного слова — 15 бит. Стоит заметить, что если бы мы использовали для кодирования каждого символа из шести по 2 бита, длина закодированного слова составила бы 18 бит.

Корректность алгоритма Хаффмана для [math]n[/math]-ичной системы счисления

Доказательство аналогично тому,что представлено в теме алгоритм Хаффмана.Только вместо двух символом с минимальными частотами надо брать [math]n[/math] символов с минимальными частотами (по алгоритму вес символа также может равняться 0).

Задача о подсчете числа бит

Имеются частоты символов,встречающихся в исходном тексте.Необходимо подсчитать суммарное число бит,необходимое для кодирования этого текста.

Возьмем [math]\mathrm{sum = 0}[/math]. На каждом шаге выбираем две наименьшие частоты,объединяем их сумму в одну частоту и добавляем в список вместо двух исходных.Новую частоту прибавляем к [math]\mathrm{sum}[/math] с присваиванием.Шаги заканчиваются тогда,когда в списке останется только одна частота.

В-итоге, [math]\mathrm{sum}[/math] - число бит необходимое для кодирования этого текста

Сложность алгоритма [math]O(n^2)[/math].

Псевдокод алгоритма:

     int [math]\mathrm{a[1..n]}[/math]      //исходный массив частот всех n символов,встречающихся в тексте"
     [math]\mathrm{sum}[/math] = 0
     do
       for [math]\mathrm{i}[/math] = 1..[math]\mathrm{n}[/math]
          find([math]\mathrm{min1}[/math],[math]\mathrm{min2}[/math])          //отыскиваем индексы двух минимальных элементов массива
       swap([math]\mathrm{a}[/math][1],[math]\mathrm{a}[/math][min1])         
       swap([math]\mathrm{a}[/math][2],[math]\mathrm{a}[/math][min2])         //теперь первые два элемента массива минимальные
       [math]\mathrm{a}[/math][2] = [math]\mathrm{a}[/math][1] + [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{sum}[/math] += [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{n}[/math]--
       delete([math]\mathrm{a}[/math][1])          //убираем из массива ненужный элемент и больше его не рассматриваем 
     while [math]\mathrm{n}[/math] != 1               //пока не останется одна частота в массиве
     return [math]\mathrm{sum}[/math]

Построение кода Хаффмана

€В приведенном ниже псевдокоде предполагается,что [math]C[/math] - множество,состоящее из [math]n[/math] символов,и что каждый из символов [math]c \in C[/math] - объект с определенной частотой [math]f(c)[/math].В алгоритме строится оптимальное дерево [math]T[/math],соответствующее оптимальному коду,причем построение идет в восходящем направлении.Процесс построения начинается с множества,состоящего из [math]|C|[/math] листьев,после чего последовательно выполняется [math]|C|-1[/math] операций "слияния",в результате,которых образуется конечное дерево.Для идентификации двух наименее часто встречающихся объектов,подлежащих слиянию,используется очередь с приоритетами [math]Q[/math],ключами в которой являются частоты [math]f[/math].В результате слияния двух объектов образуется новый объект,частота появления которого является суммой частот объединенных объектов:

1  [math]\mathrm{n}[/math] = [math]\mathrm{|C|}[/math]
2  [math]\mathrm{Q}[/math] = [math]\mathrm{C}[/math]
3  for [math]\mathrm{i}[/math] = 1 to [math]\mathrm{n}[/math] - 1
4     do Выделить память для узла [math]\mathrm{z}[/math] 
5        [math]\mathrm{x}[/math] = Extract_Min([math]\mathrm{Q}[/math])               //Extract_Min - изъятие из множества наименьшего элемента
6        left[[math]\mathrm{z}[/math]] = [math]\mathrm{x}[/math]
7        [math]\mathrm{y}[/math] = Extract_Min([math]\mathrm{Q}[/math])
8        right[[math]\mathrm{z}[/math]] = [math]\mathrm{y}[/math]
9        [math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{z}[/math]] = [math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{x}[/math]] + [math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{y}[/math]]
10       Insert([math]\mathrm{Q}[/math], [math]\mathrm{z}[/math])
11 return Extract_Min([math]\mathrm{Q}[/math])                                   //Возврат корня дерева

В строке [math]2[/math] инициализируется очередь с приоритетом [math]Q[/math],состоящая из элементов множества [math]C[/math].Цикл for в строках 3 - 10 поочередно извлекает по два узла,[math]x[/math] и [math]y[/math],которые характеризуются в очереди с наименьшими частотами,и заменяет их в очереди с новым узлом [math]z[/math],представляющим объединение упомянутых выше элементов.Частота появления [math]z[/math] вычисляется в строке 9 как сумма частот [math]x[/math] и [math]y[/math].Узел [math]x[/math] является левым дочерним узлом [math]z[/math], а [math]y[/math] - его правым дочерним узлом.(Этот порядок является произвольным;перестановка левого и правого дочерних узлов приводит к созданию другого кода с той же стоимостью.) После [math]n-1[/math] объединений в очереди остается один узел - корень дерева кодов,который возвращается в строке 11.

Алгоритм работает за [math] {O(n\log{n}}) [/math] для алфавита из [math]\mathrm{n}[/math] символов.