Минимальная охватывающая окружность множества точек

Конспект не готов.

Описание

Минимальная охватывающая окружность множества точек (smallest enclosing disc) - это задача, в которой необходимо по заданному набору точек найти окружность минимального радиуса, которая содержит все точки множества.

Алгоритм

Сперва приведем алгоритм, корректность которого позднее будет доказана. Рассмотрим метод [math] MinDisc [/math], который будет принимать на вход множество точек, а возвращать будет искомую охватывающую окружность. Идея метода в том, что он генерирует случайную перестановку из точек, которые поступили на вход и в получившимся порядке по одной добавляет их в текущую охватывающую окружность. Как будет доказано позднее, если на каком-то шаге алгоритма текущая точка оказалась вне текущей минимальной окружности, то утверждается, что она лежит на границе новой окружности, которая будет содержать в себе ее и все предыдущие точки. Опишем приведенный выше алгоритм псевдоком:

MinDisc(S)
   Let P - random permutation of S
   Let D2 - be the smallest enclosing disc for {p1, p2}.
   for i = 3 to n {
       if pi [math] \in [/math] Di−1  then Di = Di−1 // point is inside. nothing to do here
                     else Di = MinDiscWithPoint ({p1,...,pi−1}, pi) // point is lying on the boundary of minimal circle
   }
   return Dn

Источники

Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars-Computational Geometry Algorithms and Applications, p. 86