Пересечение многоугольников (PSLG overlaying)

Input [math]\Rightarrow[/math] Output

Создание новой компоненты

Создание новой компоненты

Граф для поиска face

Постановка задачи

Даны два ППЛГ, требуется построить их объединение в виде РСДС. При этом создав новые [math]face[/math] и обновив старые.

Алгоритм

MapOverlay ([math]S_1[/math], [math]S_2[/math]) [math]:[/math]

1. Копируем [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math] в граф [math]D[/math].

2. Находим все пересечения ребер из [math]S_1[/math] с ребрами из [math]S_2[/math] с помощью заметающей прямой.

2.1 Когда находим точки пересечения, то обновляем [math]D[/math], то есть строим из него РСДС.

3. Теперь [math]D[/math] это нормальный РСДС, но без информации о [math]face[/math]'ах.

4. Находим boundary cycles в [math]D[/math]. То есть обновляем этот граф. Пока только добавляя в него ребра ([math]half-edge[/math]'ы соответственно).

5. Создаем граф [math]G[/math] (о нем ниже), в котором узлы будут отвечать за boundary cycles и в котором ребра будут соединять только те узлы, один из которых будет являться границей дыры ([math]hole[/math], это внутренний цикл [math]face[/math]'a), а другой будет находиться слева от самой левой точки первого. (В случае, если это самая внешняя граница, то для нее пусть будет мнимая гигантская граница, с которой мы ее и соединим).

5.1. Для каждой компоненты графа:

Пусть [math]C[/math] будет уникальная наружная граница цикла в компоненте, а [math]f[/math] будет означать face ограниченный этим циклом. Создадим face для [math]f[/math]. Запишем [math]outer\_component[/math] в какой-нибудь [math]half-edge[/math] из [math]C[/math]. И создадим список [math]inner\_components[/math], состоящий из указателей на какой-нибудь [math]half-edge[/math] из каждого цикла. А так же пусть [math]incident\_face[/math] в каждом [math]half-edge[/math] будут обновлены на [math]f[/math].

Q&A

• Копирование РСДС

Просто объединение в одну структуру. Как сделать его правильным - это уже следующие пункты.

• Как из пересечения ребер сделать новую компоненту РСДС

См рисунок.

• Сколько будет faces?

Столько же, сколько [math]outer\_boudaries[/math] + 1.

• Как узнать, что данный цикл это внешняя граница для face или же это дыра в нем?

Мы знаем, что face находится слева от half-edge. Поэтому возьмем самую левую точку (в случаем, если их несколько, то самую нижнюю) и возьмем входящий и выходящий из нее half-edge. В случае угла между ними менее 180 градусов, то это внешняя граница, иначе это дыра. Это действует только для самой левой точки из цикла.

• Что за граф и для чего он нужен? (Граф [math]D[/math] из 5 пункта)

См рисунок. Из него мы сможем понять, какие циклы принадлежат одному и тому же face. Например, в рисунке мы видим, что C2, C3 и C6 являются циклами одного face. Из предыдущего вопроса мы понимаем, что C2 есть внешняя граница.

Подробнее:

Лемма (К предыдущему вопросу):

Каждая компонента графа отвечает за множество циклов инцидентных одному face.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим цикл [math]C[/math], который ограничивает дыру в face [math]f[/math]. Поскольку [math]f[/math] локально лежит левее самой левой вершины из [math]C[/math], то [math]C[/math] должен быть соединен с другим циклом, который тоже ограничивает [math]f[/math]. отсюда следует, что циклы есть компонента связности в графе, описывающая один и тот-же face. Для того, что бы закончить доказательство, покажем, что каждый цикл ограничивающий дыру в [math]f[/math] есть в той же компоненте связности, что и внешняя граница [math]f[/math]. Предположим, что есть цикл, для которого это не так. Пусть [math]C[/math] — самый левый такой цикл, то есть тот, чья самая левая вершина самая левая (шляпа). По определению есть ребро между [math]C[/math] и неким [math]C'[/math], который лежит слева от самой левой вершины [math]C[/math]. Следовательно [math]C[/math] в той же компоненте связности, что и [math]C'[/math], который не в той же компоненте, что внешняя граница [math]f[/math]. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

• Как построить этот граф?

Вспоминаем, что во время работы алгоритма заметающей прямой, мы смотрели на отрезки левее от event point. Из этого получаем, что информацию для постройки нашего графа мы получаем из этого алгоритма. То есть для начала мы делаем узел для каждого цикла, затем для создания ребер мы смотри на самые левые вершины циклов. Если есть half-edge слева от вершины, то создаем ребро между циклами (в котором вершина и в котором half-edge).

Литература и источники

• Вычислительная геометрия. Алгоритмы и приложения, де Берг Марк и другие. Глава 2.3