Straight skeleton

Эта статья находится в разработке!

Существует целый класс структур типа [math]\mathrm{skeleton}[/math], которые описывают базовые топологические свойства объектов. Структура [math]\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}[/math] была придумала Oswin Aichholzer. Она используются в различных практических задачах (проектирование крыш для зданий) и для доказательства некоторых теорем.

Топологические свойства

Определение:

Straight skeleton (Angular Bisector Network, ABN) полигона без самопересечений определяет разбиение полигона на регионы, границами которых являются стороны полигона, биссектрисы углов и отрезки, соединяющие точки пересечения биссектрис.

Опишем подробней, как получается такое разбиение. Мы можем представить, будто все стороны прямоугольника параллельно двигаются внутрь с одинаковой постоянной скоростью, то есть многоугольник как бы сжимается внутрь. Тогда вершины будут двигаться вдоль биссектрис , а точки пересечения биссектрис будут соединять совпавшие участки сторон прямоугольника в конце движения. В каждый момент времени от начала движения рёбер мы получаем слоистую структуру (рис 1.). На рис. 2 синим цветом выделен [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] — множество отрезков, образованных точками пересечения при движении сторон полигона. Чем-то структура похожа на строение крыши в домах (рис. 3). И для решения этой задачи как раз [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] и может применяться: по стенам здания необходимо спроектировать его крышу.

Проектирование крыши здания по готовым стенам

Процесса стягивания многоугольника продолжается до тех пор, пока происходят его топологические изменения, то есть меняется число вершин в стянутом многоугольнике, и таким образом появляются новые вершины дерева [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math]. Существуют два типа изменений, в ходе которых образуются новый вершины дерева:

• [math] Edge\ event [/math] — данное изменение происходит, когда сторона многоугольника полностью стягивается, делая соседние стороны инцидентными.
• [math] Split\ event [/math] происходит, когда ребро разбивается на два новых ребра, исходящих из точки преломления старого. Такое событие происходит на биссектрисе вогнутой вершины многоугольника. И тогда стягиваемая многоугольником область разбивается на две непересекающиеся многоугольные области.

[math] edge\ event [/math]

[math] split\ event [/math]

На рисунке [math] edge\ event' [/math]ы изображён красным кругом, а [math] split\ event' [/math]ы — чёрным прямоугольником.

Таким образом, [math] event' [/math]ы соответствуют внутренним вершинам [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math], гранями являются области многоугольника, заметаемые сторонами многоугольника в процессе стягивания, дугам отвечают отрезки биссектрис.

Стоит также отметить, что в общем случае [math] split\ event'[/math]ы могут быть нетривиальными. На рисунке ниже в случае [math] (c)\ split\ event[/math] совпал с [math] edge\ event'[/math]ом, а в случае [math] (d) [/math] совпали два [math] split\ event'[/math]а. Случаи [math] (a) [/math] и [math] (b) [/math] — простые [math] edge [/math] и [math] split\ event'[/math]ы.

Свойства Straight skeleton

Из процесса построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] следует, что он является планарным графом. Ранее уже упоминалась, что он также является деревом. Будем обозначать [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] простого полигона без самопересечений [math] P [/math], в котором [math] n [/math] вершин, как [math] S(P) [/math]. Тогда справедливы следующие леммы:

Лемма (1):

[math] S(P) [/math] является деревом, содержит [math] n [/math] связных граней, [math] n - 2 [/math] внутренние вершины и [math] 2 n - 3 [/math] рёбер.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждая грань [math] f(e) [/math] начинается образовываться во время стягивания ребра [math] e [/math], и даже если на ребре произошёл [math] split\ event [/math], сама грань не могла разделиться. Построение грани [math] f(e) [/math] завершается, когда ребро [math] e [/math] полностью стягивается. А новые рёбра появляться не могут, поэтому [math] S(P) [/math] является деревом, а каждая грань будет связная. Поэтому граней в [math] S(P) [/math] столько, сколько сторон в многоугольнике, внутренних вершин будет [math] n - 2 [/math], а рёбер [math] 2n - 3 [/math], что следует из того, что [math] S(P) [/math] является деревом.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

[math] Split\ event'[/math]ы могут исходить только из вогнутных вершин полигона.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: Доказательство

[math]\triangleleft[/math]

Wavefront-алгоритм

Рассмотрим оригинальный алгоритм, который был предложен авторами этой структуры.

TODO: "Простой" алгоритм построения за n^3 (wavefront)

Другие алгоритмы

Известен алгоритм построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] для монотонных полигонов за время [math] \mathcal{O}(n \log n)[/math] с использованием [math] \mathcal{O}(n)[/math] памяти. Существует и более сложный алгоритм, который строит [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] за время [math] \mathcal{O}(nm + n \log n)[/math], где [math] n [/math] — общее число вершин в полигоне, [math] m [/math] — число вогнутых вершин в полигоне.

Источники информации

• Wikipedia — Straight skeleton
• Computing Straight Skeletons and Motorcycle Graphs: Theory and Practice
• Designing roofs and drawing phylogenetic trees
• Eric Berberich, "Straight Skeleton, Computational Geometry and Geometric Computing Seminar"
• Stefan Huber, Martin Held, "Straight Skeletons and their Relation to Triangulations"