Детерминированные конечные автоматы

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Детерминированный конечный автомат (ДКА) (англ. deterministic finite automaton (DFA)) — набор из пяти элементов [math]\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to Q \rangle[/math], где [math]\Sigma[/math] — алфавит, [math]Q[/math] — множество состояний, [math]s[/math] — начальное (стартовое) состояние, [math]T[/math] — множество допускающих состояний, [math]\delta[/math] — функция переходов.


Процесс допуска

Изначально автомат находится в стартовом состоянии [math]s[/math]. Автомат считывает символы по очереди. При считывании очередного символа [math]p_i[/math] автомат переходит в состояние [math]\delta(q, p_i)[/math], где [math]q[/math] — текущее состояние автомата. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнут конец входного слова.

Определение:
Будем говорить, что автомат допускает слово, если после окончания описанного выше процесса автомат окажется в допускающем состоянии.

Замечание. Если в какой-то момент из текущего состояния нет перехода по считанному символу, то будем считать, что автомат не допускает данное слово. При реализации вместо отдельного рассмотрения данного случая иногда удобно вводить фиктивную нетерминальную «дьявольскую вершину» (также тупиковое состояние, сток), из которой любой переход ведет в неё же саму, и заменить все несуществующие переходы на переходы в «дьявольскую вершину».

Способы представления

  • Диаграмма переходов — граф, вершины которого соответствуют состояниям автомата, а рёбра — переходам между состояниями.
  • Таблица переходов [math]T (|Q| \times |\Sigma|)[/math], дающая табличное представление функции [math]\delta[/math].

Примеры

Автомат, принимающий непустые строки из чередующихся символов a и b,

а) без «дьявольской вершины»,
б) с «дьявольской вершиной» (отмечена серым цветом).

[math]\bigcirc[/math] — нетерминальное состояние,
[math]\circledcirc[/math] — терминальное состояние.
Стрелка [math]\downarrow[/math] указывает на начальное состояние.

а)Finite state machine 1.png

б)Finite state machine 2.png

Автомат для поиска образца в тексте для строки abbab. Automata Search.png

Автоматные языки

Определение:
Мгновенное описание (конфигурация) — пара [math]\langle q, \alpha \rangle[/math], где [math]q[/math] — текущее состояние, [math]\alpha[/math] — оставшиеся символы.

Будем говорить, что конфигурация [math]\langle p, \beta \rangle[/math] выводима из [math]\langle q, \alpha \rangle[/math] за 1 шаг [math](\langle q, \alpha \rangle \vdash \langle p, \beta \rangle)[/math], если:

  • [math]\alpha = c\beta[/math],
  • [math]\delta (q, c)=p [/math].

Будем говорить, что конфигурация [math]\langle p, \beta \rangle[/math] выводима из [math]\langle q, \alpha \rangle[/math] за конечное число шагов [math](\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle)[/math], если [math]\exists n:[/math]

  • [math]\alpha = c_1 c_2 ... c_n\beta[/math],
  • [math]\langle q, c_1 c_2 c_3 ... c_n\beta \rangle \vdash \langle u_1, c_2 c_3 ... c_n\beta \rangle \vdash \langle u_2, c_3 ... c_n\beta \rangle \vdash ... \vdash \langle u_{n-1}, c_n\beta \rangle \vdash \langle p, \beta \rangle[/math].


Лемма:
[math]\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle, \langle p, \beta \rangle \vdash^* \langle r, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle q, \alpha\beta \rangle \vdash^* \langle r, \varepsilon \rangle[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\langle q, \alpha\beta \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle \vdash^* \langle r, \varepsilon \rangle.[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Множество [math]L(\mathcal{A})=\{\alpha| \exists t \in T : \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle\}[/math] называется языком автомата [math]\mathcal{A}[/math].

Иначе говоря, языком автомата является множество всех допускаемых им слов. Произвольный язык является автоматным, если существует ДКА, допускающий те и только те слова, которые принадлежат языку.


Определение:
Множество языков всех ДКА образует множество автоматных языков [math]\mathrm{AUT}[/math].


См. также

Литература

  • Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 61.— ISBN 5-8459-0261-4