Получение следующего объекта

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:35, 26 ноября 2014; 109.205.252.46 (обсуждение) (→‎Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые)
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм

Определение:
Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

  • Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math]
  • К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math])
  • Дописываем минимальный возможный хвост

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

  • Находим минимальный суффикс, в котором есть [math]0[/math], его можно увеличить, не меняя оставшейся части
  • Вместо [math]0[/math] записываем [math]1[/math]
  • Дописываем минимально возможный хвост из нулей
function nextVector(int[] a):int[] // [math]n[/math] — длина вектора
 for i = n downto 1
   if a[i] == 0
     a[i] = 1
     for j = i + 1 to n
       a[j] = 0
     break
return(a)

Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

Пример работы

0 1 0 1 1 исходный битовый вектор
^ находим элемент 0 (самый правый)
0 1 1 1 1 меняем его на 1
0 1 1 0 0 меняем элементы правее на нули
0 1 1 0 0 следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
  • Перевернем правую часть
function nextPermutation(int[] a):int[] // [math]n[/math] — длина перестановки
  for i = n - 1 downto 1
    if a[i] < a[i + 1]
      min = i + 1
      for j = i + 1 to n
        if (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
          min = j
      swap(a[i], a[j])
      std::reverse(a[i + 1]..a[n])
      break
return(a)

Пример работы

1 3 2 5 4 исходная перестановка
^ находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
^ минимальный элемент больше нашего
1 3 4 5 2 меняем их местами
1 3 4 2 5 разворачивам правую часть
1 3 4 2 5 следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
  • Переворачиваем правую часть.
function nextMultiperm(int[] b):int[]  // [math]N[/math] — длина мультиперестановки
  begin
    i = N - 1
    while (i > 0) and (b[i] >= b[i + 1]) 
      i--
    if i > 0 
      j = i + 1
      while (j < N) and (b[j + 1] > b[i]) 
        j++
      swap(b[i] , b[j])
      for j = i + 1 to (N + i) div 2 
        swap(b[j], b[N - j + i + 1])
      return(b[1..N])
    else
      return(null)

Пример работы

1 2 3 1 2 3 Исходная перестановка.
^ Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
^ Минимальный элемент больше нашего.
1 2 3 1 3 2 Меняем их местами.
1 2 3 1 3 2 Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания

  • Добавим в конец массива с сочетанием [math]N+1[/math] – максимальный элемент.
  • Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на [math]2[/math].
  • Увеличим найденный элемент на [math]1[/math], и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
function nextChoose(int[] a):int[] // [math]n,k [/math] — параметры сочетания
  for i = 1 to k 
    b[i] = a[i]
  b[k + 1] = n + 1
  i = n
  while (i > 0) and ((b[i + 1] - b[i]) < 2) 
    i--
  if i > 0 
     b[i]++
     for j = i + 1 to k 
       b[j] = b[j - 1] + 1
     for i = 1 to k 
       a[i] = b[i]
     return(a[1..k])
  else
   return(null)

Пример работы

1 2 5 6 7 Дописываем 7 в конец сочетания.
1 2 5 6 7
^ Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1 3 5 6 7 Увеличиваем его на 1.
1 3 4 5 6 Дописываем минимальный хвост.
1 3 4 5 Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые

Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые, при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.

  • Увеличим предпоследнее слагаемое на [math]1[/math], уменьшим последнее слагаемое на [math]1[/math].
    • Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
    • Если предпоследнее слагаемое меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое [math]s[/math] на два слагаемых [math]a[/math] и [math]b[/math] таких, что [math]a[/math] равно предпоследнему слагаемому, а [math]b = s - a[/math]. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

// [math]b[/math] — список, содержащий разбиение данного числа, [math]b.size[/math]— его размер.
function nextPartition(list<int> b): list<int> 
   b[b.size]--
   b[b.size - 1]++
   if b[b.size - 1] > b[b.size] 
      b[b.size - 1] += b[b.size]
      b.remove(b.size())
   else
     while b[b.size - 1] * 2 <= b[b.size] 
       b.add(b[b.size] - b[b.size - 1])
       b[b.size - 1] = b[b.size - 2]
   return b

Пример работы

1 1 7 Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1 2 6 Проверяем: 2<6, значит разбиваем 6 пока оно не станет <4
1 2 2 4
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
1 4 5 Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
1 5 4 Проверяем: 5>4, значит прибавим к 5 + 4.
1 9 4 Удалим последний элемент.
1 9 Следующее разбиение на слагаемые числа 10.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:[math]N_n = \{1, 2, ..., n\}[/math]

Упорядочим все разбиения на множества [math]N_n[/math] лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество [math] A \subset N_n [/math] лексикографически меньше подмножества [math] B \subset N_n [/math] , если верно одно из следующих условий:

  • существует [math]i[/math] такое, что [math]i \in A[/math] , [math]i \notin B[/math], для всех [math]j \lt i: j \in A[/math] если и только если [math]j \in B[/math] , и существует [math]k \gt i[/math] такое что [math]k \in B[/math];
  • [math] A \subset B [/math] и [math]i \lt j[/math] для всех [math]i \in A[/math] и [math]j \in B[/math] \ [math] A [/math].

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение [math]N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k[/math] лексикографически меньше разбиения [math]N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l[/math] если существует такое [math]i[/math], что [math]A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i[/math].


Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

  • Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение [math] \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}[/math] будет выглядеть так:
1 2 3
4 5
  • Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
    • Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. Важное замечание: мы не можем заменить первый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
    • Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
  • Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

function nextSetPartition(a:list<list<int>>):list<list<int>>
 // [math]a[/math] — список, содержащий подмножества
 // [math]used[/math] — список, в котором мы храним удаленные элементы
 used = list<int>()
 fl = false
 for i = a.size downto 1
     if (used.size != 0) and (used[used.size] > a[i][a[i].size]) then   // если можем добавить в конец подмножества элемент из [math]used[/math]
         a[i].add(used[used.size])   //добавляем
         used.remove(used.size)
         break
     for j = a[i].size downto 1
         if (used.size != 0) and (j != 1) and (used[used.size] > a[i][j]) then   //если можем заменить элемент, другим элементом из списка [math]used[/math] 
            a[i][j] = used[used.size]   //заменяем
            fl = true
            break
     if fl break
     used.add(a[i][j])   //добавляем в [math]used[/math] [math]j[/math] элемент [math]i[/math]-го подмножества 
     a[i].remove(j)   //удаляем [math]j[/math] элемент [math]i[/math]-го подмножества
 //далее выведем все получившиеся подмножества
 sort(used)
 for i = 1 to used.size
    a.add(list<int>(used[i]))   //добавляем лексикографически минимальных хвост
 return(a)

Пример работы

Рассмотрим следующее разбиение:

1 2 3
4 5

1 Шаг:

1 2 3
4 5
^ Удалили элемент 5.
used


2 Шаг:

1 2 3
4
^ Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5 used


3 Шаг:

1 2 3 4
^ Дополнили первое подмножество элементом 4
5 used


4 Шаг:

1 2 3 4
5 Дописали лексикографически минимальный хвост
used

См.также

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Получение_следующего_объекта&oldid=41185»