Коды Грея для перестановок

Коды Грея для перестановок(англ. Gray code for permutation) — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

Элементарная транспозиция(англ. Adjacent transposition) — перестановка местами двух соседних элементов.

Примеры кодов Грея для перестановок

[math] \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \renewcommand{\tabcolsep}{0.8cm} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n = 2 & \multicolumn{3}{|c|}{\{1, 2\}} & \multicolumn{3}{|c|}{\{2, 1\}}\\ \hline n = 3 & \{1, 2, 3\} & \{1, 3, 2\} & \{3, 1, 2\} & \{3, 2, 1\} & \{2, 3, 1\} & \{2, 1, 3\}\\ \hline \end{tabular} [/math]

Построение кода Грея для перестановок

Будем строить код Грея для длины [math]n = k[/math]. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной [math]k - 1[/math]. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]

Сначала запишем число [math]k[/math] в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).

• [math]\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}[/math]

Получим [math]k[/math] различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины [math]k - 1[/math] и припишем в конце число [math]k[/math]. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины [math]k - 1[/math] отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:

[math]\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]

Элемент [math]k[/math] записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:

• [math]\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}[/math]
• [math]\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}[/math]
• [math]\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}[/math]
• [math]\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]
• [math]\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]
• [math]\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]

Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем [math]k[/math] в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.

Таким образом получаем для каждой перестановки длиной [math]k - 1[/math] (всего [math](k - 1)![/math] штук) по [math]k[/math] новых перестановок, в сумме [math]k\cdot(k - 1)! = k![/math] перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент [math]k[/math] стоит на разных позициях,а если [math]k[/math] стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной [math]k - 1[/math]. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из [math]k![/math] различных перестановок длиной [math]k[/math], причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.

Пример применения алгоритма

Рассмотрим код Грея для длины [math]n = 2[/math]:

• [math]\{2, 1\}[/math]
• [math]\{1, 2\}[/math]

Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):

• [math]\{\underline{3, 2}, 1\}[/math] — берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
• [math]\{2, \underline{3, 1}\}[/math] — двигаем до последней позиции
• [math]\{\underline{2, 1}, 3\}[/math]
• [math]\{1, \underline{2, 3}\}[/math] — берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
• [math]\{\underline{1, 3}, 2\}[/math] — двигаем в начало
• [math]\{3, 1, 2\}[/math]

Код Грея получен.

Псевдокод получения кода Грея

Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае [math]n = 1[/math] возвращаем список из одной перестановки [math]\{1\}[/math].

 gray_code(n):
 if n == 1:
   return [{1}] // возращаем список из одной перестановки
 else:
   result = [] // пустой список
   perms = gray_code(n - 1) // perms — перестановки из n - 1 элемента
   backward = false // переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку
   for perm in perms: // perm — текущая перестановка
     if backward:
       current = concat(perm, {n})// дописываем {n} в конец perm
       result.append(current)// добавляем в ответ перестановку current
       for (i = n; i > 1; i--):
          swap(current[i - 1], current[i])//переставляем n
          result.append(current) //добавляем в ответ перестановку current
     else:
       current = concat({n}, perm) // дописываем {n} в начало perm
       result.append(current) //добавляем в ответ перестановку current
       for (i = 1; i < n; i++):
         swap(current[i], current[i + 1]) //переставляем n
         result.append(current) //добавляем в ответ перестановку current
      backward = !backward //меняем состояние backward
   return result //возвращаем ответ в виде списка

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам [math]f[/math] и [math]g[/math], соединены ребром, если [math]g[/math] образуется из [math]f[/math] однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

• Комбинаторные объекты
• Гамильтонов путь

Источники информации

• Романовский И.В. Дискретный Анализ - "Санкт-Петербург", 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8