Методы генерации случайного сочетания

Задача:

Необходимо сгенерировать случайное сочетание из [math] n [/math] элементов по [math] k [/math] с равномерным распределением вероятности, если есть в наличии функция для генерации случайного числа в заданном интервале.

Наивное решение

Пусть [math]S[/math] — множество из [math]n[/math] элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:

• Шаг 1. Запишем в массив [math]C[/math] числа от [math]1[/math] до [math]k[/math],
• Шаг 2. Выберем случайный номер сочетания [math]r[/math],
• Шаг 3. Применим алгоритм получение следующего сочетания [math]r - 1[/math] раз к массиву [math]C[/math],
• Шаг 4. В [math]C[/math] хранятся номера позиции из [math]S[/math] входящих в случайное сочетание, запишем в [math]C[/math] эти элементы.

• [math]\mathtt{arrayOfElements}[/math] — массив, в котором находятся все элементы множества [math]\mathtt{S}[/math].

Псевдокод

 int[] randomCombination(int[] arrayOfElements, int n, int k):
   for i = 1 to k 
     C[i] = i
   r = random(1, n! / (k!(n - k)!))      //random(1, i) генерирует случайное целое число в интервале [1..i]
   for i = 1 to r - 1
     nextCombination(C, n, k)            //nextCombination(C, n, k) генерирует следующие сочетание
   for i = 1 to k
     C[i] = arrayOfElements[C[i]]
   return C

Сложность алгоритма — [math]O({n! \over k!(n - k)!} \cdot n)[/math].

Решение за время [math]O(nk)[/math]

Пусть [math]S[/math] — множество из [math]n[/math] элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:

• Шаг 1. Выберем в множестве случайный элемент,
• Шаг 2. Добавим его в сочетание,
• Шаг 3. Удалим элемент из множества.

Эту процедуру необходимо повторить [math]k[/math] раз.

• [math]\mathtt{arrayOfElements}[/math] — массив, в котором находятся все элементы множества [math]\mathtt{S}[/math],
• [math]\mathtt{exist}[/math] — такой массив, что если [math]\mathtt{exist[i] == 1}[/math], то [math]\mathtt{i}[/math] элемент присутствует в множестве [math]\mathtt{S}[/math],

Псевдокод

int[] randomCombination(int[] arrayOfElements, int n, int k):
  for i = 1 to k 
    r = random(1, (n - i + 1))                
    cur = 0
    for j = 1 to n 
      if exist[j]
        cur = cur + 1
        if cur == r
          res[i] = arrayOfElements[j]
          exist[j] = false
  sort(res)
  return res

Доказательство корректности алгоритма

На первом шаге мы выбираем один элемент из [math]n[/math], на втором из [math]n - 1[/math] [math]\dots[/math] на [math]k[/math]-ом из [math]n - k + 1[/math]. Тогда общее число исходов получится [math]n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)[/math]. Это эквивалентно [math]{n! \over (n - k)!}[/math]. Однако заметим, что на этом шаге у нас получаются лишь размещения из [math]n[/math] по [math]k[/math]. Но все эти размещения можно сопоставить одному сочетанию, отсортировав их. И так как размещения равновероятны, и каждому сочетанию сопоставлено ровно [math]k![/math] размещений, то сочетания тоже генерируются равновероятно.

Решение за время [math]O(n)[/math]

Для более быстрого решения данной задачи воспользуемся следующим алгоритмом: пусть задан для определенности массив [math]a[/math] размера [math]n[/math], состоящий из [math]k[/math] единиц и [math]n - k[/math] нулей. Применим к нему алгоритм генерации случайной перестановки. Тогда все элементы [math]i[/math], для которых [math]a[i] = 1[/math], включим в сочетание.

• [math]\mathtt{arrayOfElements}[/math] — массив, в котором находятся все элементы множества [math]\mathtt{S}[/math],
• [math]\mathtt{randomShuffle()}[/math] — функция генерации случайной перестановки.

Псевдокод

 int[] randomCombination(int[] arrayOfElements, int n, int k):
   for i = 1 to n 
     if i <= k
       a[i] = 1
     else
       a[i] = 0
   randomShuffle(a)                        //randomShuffle() — функция генерации случайной перестановки
   for i = 1 to n
     if a[i] == 1
       ans.push(arrayOfElement[i])
   return ans

Доказательство корректности алгоритма

Заметим, что всего перестановок [math]n![/math], но так как наш массив состоит только из [math]0[/math] и [math]1[/math], то перестановка только [math]0[/math] или только [math]1[/math] ничего в нем не меняет. Заметим, что число перестановок нулей равно [math](n - k)![/math], единиц — [math]k![/math]. Следовательно, всего уникальных перестановок — [math]{n! \over k!(n - k)!}[/math]. Все они равновероятны, так как была сгенерирована случайная перестановка, а каждой уникальной перестановке сопоставлено ровно [math]k!(n - k)![/math] перестановок. Но [math]{n! \over k!(n - k)!}[/math] — число сочетаний из [math]n[/math] по [math]k[/math]. То есть каждому сочетанию сопоставляется одна уникальная перестановка. Следовательно, генерация сочетания происходит также равновероятно.

Оценка временной сложности

Алгоритм состоит из 2 невложенных циклов по [math]n[/math] итераций каждый и функции генерации случайной перестановки [math]\mathrm{randomShuffle()}[/math], работающей за [math]O(n)[/math] по алгоритму Фишера—Йетcа. Следовательно, сложность и всего алгоритма [math]O(n)[/math]

См. также

• Получение номера по объекту
• Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке

Источники информации

• Герасимов В. А. — Генерация случайных сочетаний. Генерация сочетания по его порядковому номеру