Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева

Теорема (критерий Тарьяна минимальности остовного дерева):

Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро не из дерева является максимальным на цикле, который образуется при его добавлении в дерево.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально: если существует ребро, не максимальное на образовавшемся цикле, то мы можем уменьшить вес дерева, добавив это ребро и удалив максимальное. Теперь докажем, что дерево [math]K[/math], удовлетворяющее условию, минимально: Утверждение: Для любого разреза [math]\langle S, T \rangle[/math], в котором ребро [math]uv[/math] — единственное, пересекающее его в [math]K[/math], вес этого ребра минимален среди всех ребер [math]G[/math], пересекающих этот разрез. [math]\triangleright[/math] Рассмотрим ребро [math]ab \notin K[/math], пересекающее [math]\langle S, T \rangle [/math] и путь между вершинами [math]a[/math] и [math]b[/math] по дереву [math]K[/math]. По условию теоремы, вес [math]ab[/math] не меньше веса любого ребра на этом пути. При этом [math]ab[/math] пересекает [math]\langle S, T \rangle[/math], поэтому на этом пути найдется ребро, пересекающее этот разрез. Но единственное такое ребро в остовном дереве — это [math]uv[/math]. Следовательно, [math]w(uv) \le w(ab)[/math]. [math]\triangleleft[/math] Для доказательства минимальности [math]K[/math] построим минимальное остовное дерево графа [math]G[/math] используя алгоритм Краскала, который представляет собой применение леммы о безопасном ребре некоторое число раз. На каждом шаге к строящемуся остову будет добавляться ребро минимального веса, пересекающего некоторый разрез, а этот вес, как было показано в утверждении выше, равен весу ребра из [math]K[/math], пересекающего этот разрез. Поэтому вес получившегося минимального остова [math]G[/math] будет равен весу [math]K[/math], что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. — Алгоритмы. Построение и анализ.