Поиск k-ой порядковой статистики в двух массивах

Постановка задачи

Пусть даны два отсортированных массива [math]A[/math] и [math]B[/math] размерами [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно. Требуется найти [math]k[/math]-ый порядковый элемент после их слияния. Будем считать, что все элементы в массивах различны и нумеруются с нуля.

Варианты решения

Наивное решение

Сольем два массива и просто возьмем элемент с индексом [math]k[/math]. Сливание будет выполнено за [math]O(n + m)[/math].

Чуть менее наивное решение

Будем использовать два указателя, с помощью которых сможем обойти массивы не сливая их. Поставим указатели на начало каждого из массивов. Будем увеличивать на единицу тот из них, который указывает на меньший элемент. После [math]k[/math]-ого добавления сравним элементы, на которых стоят указатели. Меньший из них и будет ответом. Таким образом, мы получим [math]k[/math]-ый элемент за [math]O(k)[/math] шагов.

Совсем не наивное решение

Оба решения, приведенные выше, работают за линейное время, то есть приемлемы только при небольших значениях [math]k[/math]. Следующее решение работает за [math]O(log(n) + log(m))[/math].

Чтобы получить логарифмическую сложность, будем использовать бинарный поиск, который вдвое сокращает область поиска с каждой итерацией. То есть для достижения нужной сложности мы должны на каждой итерации вдвое сокращать круг поиска в каждом из массивов.