Представление вещественных чисел

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой.


Определение:
Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа, 0 - если число положительное, 1 - если число отрицательное.

Нормальная форма и нормализованная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×100, 0,001×10−1, 0,01×10−2, 0,1×10−3), поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0. Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в эвм старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет.

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения NaN (Not a Number, не число) и +/-INF (Infinity, бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел.

ТипДиапазонМантиссаБайты
Real2,9×10-39..1,7×103811-126
Single1,5×10-45..3,4×10387-84
Double5,0×10-324..1,7×1030815-168
Extended3,4×10-4932..1,1×10493219-2010

Число половинной точности

Число́ полови́нной то́чности  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину компьютерного слова (в случае 32-битного компьютера — 16 бит или 2 байта). Диапазон значений ± 2−24(5.96E-8) — 65504. Приблизительная точность — 3 знака (10 двоичных знаков, log10(211)).

Знак
Экспо-
нента 		Мантисса
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 8 7 0

Число одинарной точности

Число́ одина́рной то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в компьютерная памяти одну ячейку (машинное слово; в случае 32-битного компьютера — 32 бита или 4 байта). Как правило, обозначает формат числа с плавающей точкой стандарта IEEE 754.

Знак
Экспонента Мантисса
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31 24 23 16 15 8 7 0

Число двойной точности

Число́ двойно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти две последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32-битного компьютера — 64 бита или 8 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754.

Знак
(11 бит)
Экспонента 		(52 бита)
Мантисса
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
63 56 55 48 47 40 39 32 31 24 23 16 15 8 7 0

Число четверной точности

Число́ четверно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32-битного компьютера — 128 бит или 16 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой binary128 стандарта IEEE 754.

Формат числа четверной точности Бит знака: 1

Длина значения экспоненты: 15

Мантисса: 112

Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ

Покажем преобразование действительного числа для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double.

Как видно из таблицы, величина это типа занимает в памяти 8 байт. На рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):

SСмещенный порядокМантисса
6362..5251..0

Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер 51, т.е. мантисса занимает младшие 52 бита. Черта указывает здесь на положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части мантиссы, но поскольку она всегда равна 1, здесь данный бит не требуется и соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается). Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде смещенного числа, т.е. к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает 11 бит и имеет диапазон от 2-1023 до 21023, поэтому смещение равно 1023(10) = 1111111111(2). Наконец, бит с номером 63 указывает на знак числа.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

  1. перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;
  2. нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде M × 2p, где M — мантисса (ее целая часть равна 1(2)) и p — порядок, записанный в десятичной системе счисления;
  3. прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную систему счисления;
  4. учитывая знак заданного числа (0 — положительное; 1 — отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример. Запишем код числа -312,3125.

  1. Двоичная запись модуля этого числа имеет вид 100111000,0101.
  2. Имеем 100111000,0101 = 1,001110000101 × 28.
  3. Получаем смещенный порядок 8 + 1023 = 1031. Далее имеем 1031(10) = 10000000111(2).
  4. Окончательно
    1100000001110011100001010000000000000000000000000000000000000000
    6362..5251..0

Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим образом: C073850000000000(16).

Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного числа к самому числу.

Пример. Пусть дан код 3FEC600000000000(16) или

0011111111101100011000000000000000000000000000000000000000000000
6362..5251..0
  1. Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в разряде с номером 63 записан нуль. Получим порядок этого числа: 01111111110(2) = 1022(10); 1022 - 1023 = -1.
  2. Число имеет вид 1,1100011 × 2-1 или 0,11100011.
  3. Переводом в десятичную систему счисления получаем 0,88671875.


Cсылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Представление_вещественных_чисел&oldid=4644»