Цепные коды

Цепной код для двоичного вектора длиной 3

Цепной код — код, состоящий из n-разрядных слов. Следующее слово кода получается из предыдущего сдвигом на один разряд влево с отбрасыванием первого разряда и добавлением нуля или единицы в конец. Другое определение цепного кода — это код, каждый следующий столбец которого есть циклический сдвиг предыдущего вверх на 1 разряд.

Алгоритм получения цепного кода для двоичного вектора

Для получения цепного кода используется жадный алгоритм. Первон слово кода — слово, полностью состоящая из нулей. Образуя каждое следующее слово, мы сдвигаем предыдущее влево на один разряд, отбрасывая старший, затем добавляем в конец 1 и проверяем, не было ли такого слова раньше. Если было, то меняем последнюю единицу на ноль.

Почему алгоритм работает?

Во-первых, в этом алгоритме никогда не будет ситуации, когда нам надо образовать новое слово, а оба возможных вариантов (добавление 0 или 1) уже были использованы. Допустим, мы наткнулись на эту ситуацию в первый раз, то есть уже было 2 слова, которые начинались таким же набором единиц и нулей и отличались только в последнем разряде. Но они были получены из двух слов, которые отличаются только в первом разряде, значит, мы должны были столкнуться с данной ситуацией на шаг раньше, но мы предполагали, что это первый подобный случай и пришли к противоречию. Следовательно, мы не можем столкнуться с данной ситуацией.

Во-вторых, мы не сможем снова вернуться к слову из всех нулей, пока не переберем все [math]2^n[/math] слов, где n — длина слова. Чтобы снова получить эту строку, мы должны будем перебрать все строки, в которых есть 1, тк мы по возможности добавляем именно 1, а 0 только если такое число уже было