Quotient filter

Quotient filter — вероятностная структура данных, позволяющая проверить принадлежность элемента множеству. При этом существует возможность получить ложноположительное срабатывание (элемента в множестве нет, но структура данных сообщает, что он есть), но не ложноотрицательное (элемент в множестве есть, но структура данных сообщает, что его нет).

Существует связь между размером хранилища и шансом ложноположительного срабатывания. Поддерживаются операции добавления нового элемента в множество. С увеличением размера хранимого множества повышается вероятность ложного срабатывания. Структуру разработал Michael Bender в 2011 году как замена фильтра Блума.

Описание структуры данных

Фильтр представляет собой хеш-таблицу, в которой харанится часть ключа и [math]3[/math] бита дополнительной информации. Они используются для разрешения ситуации, когда хеш различных ключей указывает на одну ячейку в хеш таблице. В Quotient filter хеш функция возвращает [math]p[/math] битовый хеш, последние r бит которого называются остатком, а [math]q = p - r[/math] старших бит называются частным (англ. quotient), отсюда название структуры Quotient filter. Размер хеш таблицы составляет [math]2^q[/math].

Пусть у нас есть ключ [math]K[/math], его хеш обозначим [math]H(k)[/math], остаток [math]H_r[/math] и частное [math]H_q[/math]. Попробуем поместить остаток в хеш таблицу в ячейку [math]H_q[/math], называемую канонической. Возможно, ячейка уже занята, так как существует шанс полных коллизий (остаток и частное разных ключей совпадают) или частичных коллизий (частное разных ключей совпадают). Когда каноническая ячейка занята, помещаем остаток в какую-то ячейку справа.

Последовательность ячеек, имеющих одинаковые частные называется пробегом (англ. run). Возможно, что начало пробега не занимает канонический слот, если он уже занят каким-то другим пробегом.

Пробег, у которого первый элемент занимает каноническую ячейку, является началом кластера. Кластер (англ. cluster) — объединение последовательных пробегов, концом кластера является пустая ячейка или начало другого кластера.

Три дополнительных бита имеют следующие функции:

1. бит занятости — равен единице, если ячейка является канонической для некого ключа в фильтре, сохраненого необязательно в этой ячейке.
2. бит продолжения — равен единице, если ячейка занята, но не первым элементов пробеге.
3. бит сдвига — равен единице, если пробег сдвинут относительно канонического слота.

Бит занятости	Бит Продолжения	Бит сдвига	Описание
0	0	0	Пустая ячейка.
0	0	1	Ячейка содержит начало пробега, сдвинутого относительно канонического слота.
0	1	0	Не используется.
0	1	1	Ячейка содержит элемент пробега(не первый), сдвинутого относительно канонического слота.
1	0	0	Ячейка содержит первый элемет пробега в его каноническом слоте.
1	0	1	Ячейка содержит первый элемет пробега, сдвинутого относительно канонического слота. Ячейка является канонической, для существующего пробега сдвинутого вправо.
1	1	0	Не используется.
1	1	1	Ячейка содержит элемент пробега(не первый), сдвинутого относительно канонического слота. Ячейка является канонической, для существующего пробега сдвинутого вправо.

Поиск

Пусть мы ищем ключ [math]K[/math]. Смотрим в его каноническую ячейку [math]H_q[/math]. Если бит занятости не единица, то элемент точно не содержится в множестве. Если бит занятости единица, то нам нужно найти пробег для [math]H_q[/math]. Так как начало нужного пробега может быть сдвинуто, найдем начало кластера. Идем влево от ячейки [math]H_q[/math] и ищем первую с битом сдвига равным нулю, эта ячейка и будет началом кластера. Пока мы идем влево от [math]H_q[/math] будем поддерживать счетчик, который бедет показывать сколько пробегов нам нужно будет пропустить от начала кластера. Каждая ячейка с битом занятости равным единице увеличивает счетчик на [math]1[/math]. После того как мы нашли начало кластера, пойдем от него влево, каждая ячейка с битом продолжения равным нулю говорит о завершении пробега, когда счетчик станет равным нулю мы найдем нужный нам пробег для [math]H_q[/math]. Если в этом пробеге содержится [math]H_r[/math], то [math]K[/math] ,вероятно, содержится в множестве, иначе [math]K[/math] точно не содержится в множестве.

Вставка

Аналогично с поиском: найдем позицию для [math]H_r[/math], сдвигаем на одну позицию влево все эллементы кластера, начиная с выбранного, обновляем дополнительные биты.

• Сдвиг не влияет на бит занятости. Выставляем бит занятости в ячейке [math]H_q[/math] в единицу.
• Если мы вставляем [math]H_r[/math] в начало пробега, следовательно предыдущий элемент пробега стал вторым, у него нужно выставить бит продолжения.
• Мы выставляем бит сдвига в единицу для каждой ячейки, что мы сдвинули.

Преимущества

• Последовательное расположение данных. Можно загружать только [math]1[/math] кластер, уменьшая количество кеш промахов.
• Простое увеличение или уменьшение хеш таблицы, достаточно перенести один бит из остатка в частное или наоборот.
• Простое слияние двух фильтров.

См. также

• Идеальное хеширование
• Универсальное хеширование

Источники

• Wikipedia — Quotient filter
• Habrahabr — Quotient filter