Quotient filter

Quotient filter — вероятностная структура данных, позволяющая проверить принадлежность элемента множеству. При этом существует возможность получить ложноположительное срабатывание (элемента в множестве нет, но структура данных сообщает, что он есть), но не ложноотрицательное (элемент в множестве есть, но структура данных сообщает, что его нет).

Существует связь между размером хранилища и шансом ложноположительного срабатывания. Поддерживаются операции добавления нового элемента в множество. С увеличением размера хранимого множества повышается вероятность ложного срабатывания. Структуру разработал Michael Bender в 2011 году как замена фильтра Блума. Фильтр используется для ускорения ответов в хранилище ключ-значение.

Описание структуры данных

Фильтр используется для ускорения ответов в хранилище ключ-значение. Пары ключ-значение содержатся в хранилище с медленным доступом. Фильтр отфильтровывает ненужные запросы в хранилище (запрос ключа которого точно нет в хранилище), что ускоряет его работу вцелом, но увеличевает потребление памяти

Фильтр представляет собой хеш-таблицу, в которой харанится часть ключа и [math]3[/math] бита дополнительной информации. Они используются для разрешения ситуации, когда хеш различных ключей указывает на одну ячейку в хеш-таблице. В quotient filter хеш-функция возвращает [math]p[/math] битовый хеш, последние r бит которого называются остатком (англ. remainder), а [math]q = p - r[/math] старших бит называются частным (англ. quotient), отсюда название структуры Quotient filter. Размер хеш-таблицы составляет [math]2^q[/math], так как есть всего [math]2^q[/math] разных частных.

Пусть у нас есть ключ [math]K[/math], его хеш обозначим [math]h(K)[/math], остаток [math]h_r[/math] и частное [math]h_q[/math]. Попробуем поместить остаток в хеш-таблицу в ячейку с индексом [math]h_q[/math], называемую канонической. Возможно, ячейка уже занята, так как существует шанс полных коллизий (остаток и частное разных ключей совпадают) или частичных коллизий (частное разных ключей совпадают). Когда каноническая ячейка занята, помещаем остаток в какую-то ячейку справа. Этот способ решения колизий схож с линейным методом разрешения колизий.

Последовательность ячеек, имеющих одинаковые частные называется пробегом (англ. run). Возможно, что начало пробега не занимает канонический слот, если он уже занят каким-то другим пробегом.

Пробег, у которого первый элемент занимает каноническую ячейку, является началом кластера. Кластер — объединение последовательных пробегов, концом кластера является пустая ячейка или начало другого кластера.

Три дополнительных бита имеют следующие функции:

• бит занятости — равен единице, если ячейка является канонической для некого ключа в фильтре, сохраненого необязательно в этой ячейке,
• бит продолжения — равен единице, если ячейка занята, но не первым элементов пробеге,
• бит сдвига — равен единице, если пробег сдвинут относительно канонического слота.

Пример последовательной вставки элементов [math] b, f, e, c, d, a[/math]

Бит занятости	Бит Продолжения	Бит сдвига	Описание
0	0	0	Пустая ячейка.
0	0	1	Ячейка содержит начало пробега, сдвинутого относительно канонического слота.
0	1	0	Не используется.
0	1	1	Ячейка содержит элемент пробега (не первый), сдвинутого относительно канонического слота.
1	0	0	Ячейка содержит первый элемет пробега в его каноническом слоте.
1	0	1	Ячейка содержит первый элемет пробега, сдвинутого относительно канонического слота. Ячейка является канонической, для существующего пробега сдвинутого вправо.
1	1	0	Не используется.
1	1	1	Ячейка содержит элемент пробега (не первый), сдвинутого относительно канонического слота. Ячейка является канонической, для существующего пробега сдвинутого вправо.

Поиск

Пусть мы ищем ключ [math]K[/math]. Смотрим в ячейку с индексом [math]h_q[/math], это каноническая ячейка для частного [math]h_q[/math]. Если в этой ячейке бит занятости не единица, то элемент точно не содержится в множестве. Если бит занятости единица, то нам нужно найти пробег для [math]h_q[/math]. Так как начало нужного пробега может быть сдвинуто, найдем начало кластера. Идем влево от ячейки с индексом [math]h_q[/math] и ищем первую с битом сдвига равным нулю, эта ячейка и будет началом кластера. Пока мы идем влево от ячейки с индексом [math]h_q[/math] будем поддерживать счетчик, который бедет показывать сколько пробегов нам нужно будет пропустить от начала кластера. Каждая ячейка с битом занятости равным единице увеличивает счетчик на [math]1[/math]. После того как мы нашли начало кластера, пойдем от него влево, каждая ячейка с битом продолжения равным нулю говорит о завершении пробега, когда счетчик станет равным нулю мы найдем нужный нам пробег для частного [math]h_q[/math]. Если в этом пробеге содержится [math]h_r[/math], то [math]K[/math], вероятно, содержится в множестве, иначе [math]K[/math] точно не содержится в множестве.

Вставка

Аналогично с поиском: найдем позицию для [math]h_r[/math], сдвигаем на одну позицию влево все эллементы кластера, начиная с выбранного, обновляем дополнительные биты.

• Сдвиг не влияет на бит занятости. Выставляем бит занятости в ячейке [math]h_q[/math] в единицу.
• Если мы вставляем [math]h_r[/math] в начало пробега, следовательно предыдущий элемент пробега стал вторым, у него нужно выставить бит продолжения.
• Мы выставляем бит сдвига в единицу для каждой ячейки, что мы сдвинули.

Преимущества

• Последовательное расположение данных. Можно загружать только [math]1[/math] кластер, уменьшая количество кеш промахов.
• Простое увеличение или уменьшение хеш-таблицы, достаточно перенести один бит из остатка в частное или наоборот.
• Простое слияние двух фильтров.

См. также

• Идеальное хеширование
• Универсальное хеширование

Источники информации

• Wikipedia — Quotient filter
• Habrahabr — Quotient filter